Ниже выдержка из лекций Городенцева.

Изоморфизм
![$\mathbb{Z}[i] / (p) \simeq \mathbb{Z}[x] / (p, x^2 +1)$ $\mathbb{Z}[i] / (p) \simeq \mathbb{Z}[x] / (p, x^2 +1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/a/82aece353c1959e120f8919c3059f4fe82.png)
явно не указан, и я не совсем понял, что и куда переводить. Какое там отображение?
Я подумал и решил, что есть мн-во классов эквивалентности, которые и есть гауссовы целые:
![$\mathbb{Z}[x] / (x^2 +1)$ $\mathbb{Z}[x] / (x^2 +1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/e/3aea9aacab36810cb2866bd1821d70d582.png)
. Каждый класс однозначно представляется в виде
![$ [a + bx]_{x^2+1}$ $ [a + bx]_{x^2+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/7/d9700d74ce6d4f71936c2cbabfbaec5d82.png)
, где

. Объединим все классы, где

- т.е. делится на

. Это, кажестя, и будет
![$\mathbb{Z}[x] / (p, x^2 +1)$ $\mathbb{Z}[x] / (p, x^2 +1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/7/247c19b204a8cd82e42e93474886e01682.png)
, и тогда изоморфизм станет ясен. Я доказал, что если два элемента построенных классов эквивалентны, то их разность принадлежит идеалу

, обратное утверждение - нет.