Составить дифференциальное уравнение

[Artares]

Здравствуйте. Хотелось бы составить дифференциальное уравнение для следующей задачи. Имеется некая емкость, наполненная заданным количеством объектов (objectCount). Через равные промежутки времени ($\delta_t$) из емкости должно высыпаться некоторое количество объектов ($x$) по экспоненциальному или степенному закону. По прошествии заданного времени ($t$) емкость должна оказаться пустой, т.е. в итоге сумма объектов в высыпанных порциях ко времени $t$ должна быть равной objectCount.

P.S. Задачу сформулировал сам. Я программист и хочется сделать по уму без визуальной подгонки параметров.

[sa233091]

Можете уточнить понятие <<по экспоненциальному или степенному закону>>?
Дифференциальное уравнение относительно какой функции вы хотите составить?

-- 22.09.2016, 12:35 --

И если я правильно понимаю, то с экспоненциальным законом вообще получается , что за бесконечно малый промежуток времени высыпается 1 объект( $\[{a^0} = 1\]$ ). То есть объекты сразу же высыпаются мгновенно.

[Artares]

Постараюсь объяснить. Предположим, что в емкости находится 50 объектов. Сначала, например, высыпается два объекта, потом через \delta_t высыпается 4 объекта, потом 8, потом 16 и т.д, т.е. что-то вроде x(t)=e^{kt} или x(t)=2^{kt}. В итоге строго ко времени t (задается пользователем и может быть как одна секунда, так, например, и целый час) должны высыпаться все 50 объектов - ни больше ни меньше. Задача состоит в том, чтобы количество объектов, падающих через равные промежутки времени, распределялось по экспоненциальному или степенному закону.

[svv]

$t$, как Вы сказали, задано. А $\delta_t$ тоже задано?

[Artares]

Да, \delta_t тоже задана.

[Brukvalub]

Такой процесс вряд ли можно задать гладкой функцией, а решения дифуров - как правило, гладкие функции. Здесь, скорее, должна идти речь о разностном уравнении.

[wrest]

Artares в сообщении #1153556 писал(а):

Сначала, например, высыпается два объекта, потом через \delta_t высыпается 4 объекта, потом 8, потом 16 и т.д,

Ну так это называется "геометрическая прогрессия", формула суммы геометрической прогрессии известна же.

[svv]

Тогда получается, что задано и количество высыпаний.

Я бы посоветовал вводить функции, определяющие количество высыпавшихся объектов не от времени, а от «раза», от номера высыпания:
$x_n=n^a$ (степенной закон)
$x_n=a^n$ (показательный закон)
Задача сводится к нахождению параметра $a$. Понятно, что она не всегда разрешима. Если, например, задано количество высыпаний $10$, а объектов $7$, придётся где-то идти на уступки.