Задача: найти такое подмножество

, чтобы и оно само, и его дополнение оба были всюду плотны в

, и оба имели мощность континуума.
Мое решение:
(Оффтоп)
Здесь и далее под записью некоторого числа будем понимать запись этого числа в троичной позиционной системе счисления. Возьмем в качестве искомого множества множество всех чисел, в записи которых цифра

встречается лишь конечное количество раз. Соответственно, его дополнение - множество всех чисел, в чьей записи цифра

встречается бесконечное количество раз.
Действительно, наше множество, в частности, содержит в качестве своего подмножества множество всех чисел, чья запись единиц вообще не содержит; доказательство континуальной мощности этого множества оставляем читателю. С другой стороны, наше множество является подмножеством действительной прямой, и выше континуума мощности иметь не может. Стало быть, континуум оно и есть.
Дополнение множества содержит в качестве подмножества множество всех чисел, в чьей записи на местах с четным номером всюду стоят единицы, а на местах с нечетным номером всюду неединицы. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, устанавливаем, что и мощность дополнения также континуум.
Для любого действительного числа

можно построить последовательность элементов из нашего множества, сходящуюся к данному числу. А именно, последовательность чисел

, где запись каждого

с точностью до

-й чифры после запятой совпадает с записью самого числа

, зато после этой цифры идут одни только нули. Стало быть, наше множество всюду плотно.
Для дополнения к множеству тоже можно строить сходящуюся последовательность, только каждый элемент заканчивается не нулями, а единицами. Значит, и дополнение тоже всюду плотно.
Теперь вопрос: нет ли в решении ошибок? И есть ли какое-нибудь принципиально другое решение?