Множество и его дополнение всюду плотны, континуальны

[INGELRII]

Задача: найти такое подмножество $\mathbb{R}$, чтобы и оно само, и его дополнение оба были всюду плотны в $\mathbb{R}$, и оба имели мощность континуума.

Мое решение:

(Оффтоп)

Здесь и далее под записью некоторого числа будем понимать запись этого числа в троичной позиционной системе счисления. Возьмем в качестве искомого множества множество всех чисел, в записи которых цифра $1$ встречается лишь конечное количество раз. Соответственно, его дополнение - множество всех чисел, в чьей записи цифра $1$ встречается бесконечное количество раз.

Действительно, наше множество, в частности, содержит в качестве своего подмножества множество всех чисел, чья запись единиц вообще не содержит; доказательство континуальной мощности этого множества оставляем читателю. С другой стороны, наше множество является подмножеством действительной прямой, и выше континуума мощности иметь не может. Стало быть, континуум оно и есть.

Дополнение множества содержит в качестве подмножества множество всех чисел, в чьей записи на местах с четным номером всюду стоят единицы, а на местах с нечетным номером всюду неединицы. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, устанавливаем, что и мощность дополнения также континуум.

Для любого действительного числа $a$ можно построить последовательность элементов из нашего множества, сходящуюся к данному числу. А именно, последовательность чисел $\{ a_n \}$, где запись каждого $a_n$ с точностью до $n$-й чифры после запятой совпадает с записью самого числа $a$, зато после этой цифры идут одни только нули. Стало быть, наше множество всюду плотно.

Для дополнения к множеству тоже можно строить сходящуюся последовательность, только каждый элемент заканчивается не нулями, а единицами. Значит, и дополнение тоже всюду плотно.

Теперь вопрос: нет ли в решении ошибок? И есть ли какое-нибудь принципиально другое решение?

[demolishka]

Рассмотрите объединение отрицательных иррациональных чисел и положительных рациональных.

[gris]

А если к Канторову множеству добавить рациональные числа? Мера ноль, то есть дополнение всюду плотно

[INGELRII]

demolishka
Читерство какое-то Но да, условию удовлетворяет.

gris
Да. В качестве сходящейся к любому $a$ последовательности возьмем такие $a_n$, что до $n$-й цифры после запятой их запись совпадает с $a$, а после следуют цифры $010011000111...$; все члены иррациональны и множеству Кантора не принадлежат.

[Red_Herring]

Более интересная (и нетрудная) задача: если множества локально континуальны (т.е. в пересечении с любым интервалом)

[gris]

Red_Herring, счётная аддитивность меры Лебега в применении к сдвинутым Канторовым множествам не прокатит?

[Red_Herring]

Конечно прокатит. Лично я заполнял последовательно дырки в Канторе меньшими Канторами

[gris]

А я по простоте взял все пары рациональных чисел (и Канторов туда больших и маленьких)

[Dan B-Yallay]

неизмеримые по Лебегу множества не подойдут?

[worm2]

Red_Herring в сообщении #1153269 писал(а):

Более интересная (и нетрудная) задача: если множества локально континуальны (т.е. в пересечении с любым интервалом)

Вроде бы, конструкция в самом первом сообщении этому условию удовлетворяет.

[Dan B-Yallay]

worm2 в сообщении #1153291 писал(а):

Вроде бы, конструкция в самом первом сообщении этому условию удовлетворяет.

В "положительном" интервале будет только счетное множество.

[INGELRII]

Dan B-Yallay
Мое решение же, которое под спойлером.

[Dan B-Yallay]

INGELRII
Я почему-то первым посчитал ответ от demolishka

[g______d]

На всякий случай -- вот пример из "реальной жизни":

https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number

(включая локальную континуальность)