Задача на движение: Василий едет домой и встречает...

[Iam]

Здесь я привожу (в модифицированном виде) простенькую задачку на движение, которая мне показалась интересной для досуга. В принципе она для решения «в уме», однако, чтобы разобраться, пожалуй, придется что-то порисовать.

Задача.
Василий после окончания ночного дежурства (в качестве охранника) в больнице возвращался домой на мотоцикле. По дороге ему повстречался трактор, управляющий которым тракторист попросил вызвать скорую помощь для товарища, который пострадал на работе (что-то с ногой) и которого он вез в эту больницу. Василий позвонил туда и узнал, что с вызова возвращается и по этой дороге будет проезжать «скорая», которая и заберет пострадавшего. Он рекомендовал трактористу все-таки двигаться в сторону больницы, а сам поехал своим путем. После того, как он проехал еще такое же расстояние (какое он проехал до встречи с трактористом), ему повстречалась «скорая», ехавшая за пострадавшим. Эта «скорая» догнала трактор, когда он проехал полпути до больницы от места встречи с Василием. Персонал «скорой» в течение некоторого времени на месте оказал первичную мед. помощь пострадавшему, после чего «скорая» с пострадавшим и тракторист на тракторе одновременно выдвинулись по направлению к больнице.
Известно, что если бы Василий выехал из больницы на полчаса позже, то он встретил бы трактор в том же месте, где его догнала «скорая».
Вопрос: Какое время находился в больнице пострадавший до приезда его товарища-тракториста?

Примечания:
1. Время, которое Василий и тракторист затратили на выяснение ситуации и вызов «скорой», учитывать не нужно.
2. Полагается, что Василий на мотоцикле, трактор и «скорая» движутся с постоянной скоростью. Временем, затрачиваемым на разгон и торможение, можно пренебречь.

[svv]

(Оффтоп)

Небольшая переформулировка условия. Принципиально ничего не меняется.

После окончания ночного дежурства в больнице Василий возвращался домой на мотоцикле. Было ещё темно, и Василий нечаянно наехал на пешехода. Василий очень устал и спешил домой, поэтому поехал дальше. Проехав ещё такое же расстояние, он увидел ехавшую навстречу «скорую», после чего продолжал путь, уже совершенно обоснованно не беспокоясь о пешеходе.

Пешеход пострадал не сильно и сразу же сам заковылял в сторону больницы. Врачи скорой заметили его, остановились и некоторое время оказывали первую помощь. После этого они порекомендовали ему всё-таки обратиться в больницу. Поскольку, однако, пешеход мог идти сам, скорая поехала дальше без него.

Вопрос: через какое время после приезда «скорой» в больницу туда приковылял пострадавший?

[Iam]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1151645 писал(а):

... и Василий нечаянно наехал на пешехода. Василий очень устал и спешил домой, поэтому поехал дальше. Проехав ещё такое же расстояние, он увидел ехавшую навстречу «скорую», после чего продолжал путь, уже совершенно обоснованно не беспокоясь о пешеходе.

Исключительно жизненная интерпретация. Особенно греет душу осознание того, что Василий, несмотря на усталость, беспокоился о сбитом пешеходе и обоснованно перестал «париться» на эту тему, лишь когда увидел куда-то едущую «скорую». Возможно, именно их такого случая и возникла эта задача.

-- 16.09.2016, 15:28 --

(Оффтоп)

Да, при интерпретации svv еще одно маленькое изменение: Если бы Василий выехал из больницы на полчаса позже, а пешеход был бы сбит его напарником, который выехал вовремя, то встретил бы ковыляющего пешехода прямо в момент подъезда к нему скорой помощи.

[svv]

(Оффтоп)

Да, Вы правы, и вообще, Вы меня очень хорошо поняли.

[svv]

(Решение)

Первое упрощение. Время, которое пострадавший находился в больнице до приезда тракториста, при фиксированных скоростях и расстояниях не зависит от времени, в течение которого ему оказывалась первая помощь. Поэтому можно считать, что это время равно нулю. Тогда и скорая, и трактор проехали место оказания первой помощи не останавливаясь.

Второе упрощение. Если бы Василий выехал на полчаса позже, он встретил бы трактор в месте, где его догнала скорая. Это значит, что встреча трактора и скорой произошла через полчаса после того, как это место проехал Василий.

С учётом этого — картинка:

Время здесь растёт вверх, координата (расстояние от больницы) вправо. Мировая линия Василия синяя, трактора зелёная, скорой помощи — красная. Вертикальные серые линии расположены на равном расстоянии, причём единицей измерения является расстояние от больницы до места оказания первой помощи.

$BF$ известно — это полчаса. Решение: $GH=CE=\frac 2 3 BF$.

[Iam]

svv, спасибо. Помимо конкретного решения Вы к тому же изложили общую методику решения подобных задач и некоторых их обобщений.
Из рисунка хорошо видно, в каких соотношениях должны находиться скорости Васи на мотоцикле, трактора и скорой. Вашу замечательную интерпретацию этой задачи постараюсь изложить в полном объеме с учетом реальных скоростей передвижения участников.

[svv]

Спасибо и Вам за интересную (и вдохновившую меня) задачу. Она приятна своей «аффинностью»: пока мы двигаем точки $A, B, ..., H$ вдоль вертикальных прямых так, чтобы красная, синяя и зелёная линии продолжали быть прямыми, не становясь ломаными, отношение параллельных отрезков не изменяется. Отсюда возможность решить задачу при, казалось бы, дефиците информации.

[Батороев]

svv в сообщении #1152065 писал(а):

Второе упрощение. Если бы Василий выехал на полчаса позже, он встретил бы трактор в месте, где его догнала скорая. Это значит, что встреча трактора и скорой произошла через полчаса после того, как это место проехал Василий.

Здесь, на мой взгляд, напрашивается третье упрощение: Если место обозначено местом встречи трактора и скорой, а также трактора и Василия, то это место встречи скорой и Василия. Или это, я чего-то "не догнал"?

[svv]

На картинке это точка $F$. Там встретились трактор и скорая, но Василий проехал это место на полчаса раньше (точка $B$). Василий увидел бы эту встречу, если бы выехал из больницы на полчаса позже.

[Батороев]

Я понял, что неправильно расшифровал Вашу запись.

svv в сообщении #1152065 писал(а):

Второе упрощение. Если бы Василий выехал на полчаса позже, он встретил бы трактор в месте, где его догнала скорая. Это значит, что встреча трактора и скорой произошла через полчаса после того, как это место проехал Василий.

Здесь Вы в двух предложениях упомянули две встречи, а я подумал, что одна - только сослагательная.

-- 20 сен 2016 10:49 --

Мое упрощение (касающееся одновременной сослагательной встречи всех трех транспортных средств) тоже полезно, но наверное уже для "школьного решения".

[Батороев]

А вот с самим решением у меня "швах"...
Если бы Василий выехал на полчаса позже, он проехал до сослагательной встречи с трактором (и скорой) полпути от расстояния до места действительной встречи с трактором. Значит, на прохождение пути между местами сослагательной встречи и действительной ему понадобились бы те же полчаса (которые он потерял в больнице), т.е. на путь от больницы до места действительной встречи Василий затратил час.
Таким образом, выехав на полчаса позже и проведя в пути до сослагательной встречи полчаса (в виду равенства расстояний), Василий оказался бы в этом месте через час после момента действительного выезда.
В это время трактор, как выяснилось ранее, находился на месте действительной встречи... и встретиться с Василием никак не мог.

[svv]

Батороев в сообщении #1153022 писал(а):

Если бы Василий выехал на полчаса позже, он проехал до сослагательной встречи с трактором (и скорой) полпути от расстояния до места действительной встречи с трактором. Значит, на прохождение пути между местами сослагательной встречи и действительной ему понадобились бы те же полчаса (которые он потерял в больнице), т.е. на путь от больницы до места действительной встречи Василий затратил час.

Эти времена мы из условий задачи найти не можем. Совершенно ничему не противоречит, например, такая скорость Василия, при которой расстояние от больницы до сослагательной (понравилось слово ) встречи он преодолеет за одну минуту. Вот расписание. Указывается сначала название точки на рисунке, потом новосибирское время в часах и минутах, расстояние от больницы, ну, и описание события.

Один километр Василий проезжает за 1 минуту, скорая за 9 минут (спустило колесо), трактор за 29 минут. Астральный двойник Василия делает всё то же, что Василий, но на полчаса позже. Он и реализует сослагательность. Итак.

А, 00:00, 0 км. Василий выезжает из больницы.
B, 00:01, 1 км. Василий проехал место сослагательной встречи.
C, 00:02, 2 км. Василий встретился с трактором.
D, 00:04, 4 км. Василий встретился со скорой.
E, 00:22, 2 км. Скорая доехала до места, где Василий встретился с трактором.
A', 00:30, 0 км. Астральный двойник Василия выехал из больницы.
F, 00:31, 1 км. Встретились скорая, трактор и астральный двойник Василия.
G, 00:40, 0 км. Скорая приехала в больницу.
H, 01:00, 0 км. Трактор приехал в больницу.

[Iam]

Батороев, а если бы Вы провели из точки $F$ прямую (пунктиром), параллельную $AB$ до пересечения с $AG$ в точке $S$, то понятно было бы, что $\mid AS \mid$ - это полчаса и $\mid BF \mid = \mid AS \mid $?

[Батороев]

svv
Iam
Спасибо! Что-то я "притупил" вчера.

[wrest]

(Обычное решение)

Поскольку размерность нам дана только в одном месте -- полчаса, то выберем единицы измерения расстояния произвольно, так что расстояние от больницы до места встречи Василия с трактором равно 2 единицам, расстояние от больницы до места встречи Василия со скорой равно 4. Тогда расстояние от больницы до места встречи со скорой равно 1.

Обозначим буквами $T$ темпы движения (получасов на единицу расстояния) соответственно Василия, трактора и скорой: $T_B,T_T,T_C$.
Чтобы подчеркнуть размерность, перед буквами $T$ будем писать множители связанные с расстояниями отделяя их точкой. То есть, везде можно заменить например $2\cdot$ на $2S_0$ где $S_0$ - длина пути от больницы до места встречи трактора и скорой.
Обозначим нулевой отсчет времени момент выезда Василия из больницы.
Тогда с трактором Василий встретился в момент времени $t_1=2\cdot \ T_B$ (1), а со скорой в момент времени $t_2=4\cdot T_B=2t_1$
Пусть скорая встретила трактор в момент времени $t_3$, тогда поскольку эта встреча произошла на расстоянии 1 от больницы, то трактор проехал расстояние 1 за время прошедшее со времени встречи трактора с Василием $t_1$, а скорая проехала расстояние 3 за время прошедшее со времени встречи скорой с Василием $t_2$ то есть

$t_1-t_3=1\cdot T_T$ (2)
$t_2-t_3=2t_1-t_3=3\cdot T_C$ (3)

Подставляем (1) в (2) и (3), получаем:

$2\cdot T_B-t_3=1\cdot T_T$ (4)
$4\cdot T_B-t_3=3\cdot T_C$ (5)

Вычитаем (4) из (5) и получаем:

$2\cdot T_B=3\cdot T_C-1\cdot T_T$ (6)

Условие про полчаса в наших обозначениях (время меряем в опозданиях Василия, то есть в получасах, единица времени равна получасу!) превращается в

$1+1\cdot T_B=1\cdot T_T$ (7)

Подставляем (7) в (6) и получаем:
$2\cdot T_B=3\cdot T_C-1-1\cdot T_B$ откуда находим
$3\cdot T_B-3\cdot T_C=1$ или

$1/3=T_B-T_C$ (8)

Обозначим искомую разницу времени прибытия скорой и трактора в больницу как $t_4$, имеем
$t_4=1\cdot T_T - 1\cdot T_C$ (7)
Подставляем (7) в (6) получаем
$2\cdot T_B=3\cdot T_C-1\cdot T_T+t_4-t_4=2\cdot T_C-t_4$ переносим $t_4$ влево, переносим $2\cdot T_B$ вправо, делим на два и получаем

$t_4/2=T_B-T_C$ (9)

Теперь из (9) вычитаем (8) и получаем
$t_4/2-1/3=0$ и окончательно
$t_4=2/3$ (10)

(10) и есть ответ, означающий что пострадавший находился в больнице до приезда его товарища-тракториста 2/3 от времени на которое Василию нужно было бы выехать позже чтобы встретить трактор в том же месте, где его догнала «скорая».

Ответ -- 20 минут.

На мой взгляд, трудностей в этой задаче две:
1. При записи уравнений исходя из формулы $t=s/v$ скорости оказываются в знаменателе и это сбивает с толку, т.к. возникает непреодолимое желание привести к общему знаменателю. Замена скоростей на темпы упрощает запись, об этом надо догадаться исходя из того что в условии нет никаких скоростей и следовательно скорости на каком-то этапе должны взаимосократиться.
2. Условие про полчаса нелегко переложить в вид уравнения, и по-моему это самое трудное в задаче -- не ошибиться в вопросе кто на ком стоял.