Производящая функция

[juna]

Пусть

$$\varphi(n)=-\frac{1}{n^2}+\frac{5}{n^3}-\frac{16}{n^4}+\frac{43}{n^5}-\frac{106}{n^6}+\ldots$$

коэффициенты разложения определяются последовательностью A053221
Доказать, что в области сходимости $n>2$ имеет место:

$$\varphi(n)=\frac{n+1}{(n+2)^2}-\frac{n}{(n+1)^2}$$

[DeBill]

А в чем проблемы? Раскладываем на простейшие дроби.
Используем формулу для суммы геометрической прогрессии (и - для ее производной) - дОлжно получиться...

[juna]

Ну, не вышел каменный цветок... Хотел получить один трюк. Но мучить себя геометрическими прогрессиями я бы не стал. Простая подстановка $n=\frac{1}{x}$ разрушает все трюки и приводит к

$$\frac{x^4-x^3-x^2}{(2x+1)^2(x+1)^2}$$

, что раскладывается в ряд Маклорена ровно с такими коэффициентами.

В общем тему целесообразно убрать отсюда.

[DeBill]

(Оффтоп)

juna в сообщении #1151901 писал(а):

раскладывается в ряд Маклорена ровно с такими коэффициентами.

Каковое разложение ищем так:

DeBill в сообщении #1151877 писал(а):

Раскладываем на простейшие дроби.
Используем формулу для суммы геометрической прогрессии (и - для ее производной)

...

[juna]

Немного украшу тему полученным в связи с ней фактом.
Член любой арифметической прогрессии $m-2$ порядка $\{a_1,a_2,\ldots\}$ можно выразить через предыдущие следующим образом:

$$a_{i}=\sum_{l=2}^m\left (\frac{\prod_{k=2,k\neq l}^{m}(i-k)}{(l-2)!(m-l)!}\right )\cdot(-1)^l\cdot a_l$$

Например, возьмем гексагональные числа $1,6,15,28,45,66,91,...$ В maxima эта формула выглядит так:

L:[1,6,15,28,45,66,91]$
a(m,i,L):=sum(prod(if k#j then (i-k) else 1,k,2,m)*L[j]*(-1)^j/((j-2)!*(m-j)!),j,2,m)$

Теперь смотрим:

(%i3) a(4,5,L);
(%o3)                               45
(%i4) a(4,7,L);
(%o4)                               91

А можно сразу получить замкнутую формулу:

(%i170) expand(a(4,n,L));
                                      2
(%o170)                            2 n  - n

И так для любой прогрессии.

[DeBill]

juna в сообщении #1152009 писал(а):

Член любой арифметической прогрессии $m-2$ порядка $\{a_1,a_2,\ldots\}$ можно выразить через предыдущие следующим образом:

Интерполяционный многочлен Лагранжа?

[juna]

Не знаю. Им я при выводе не пользовался, возможно это оттуда и следует. Очень похоже.
-------------------------------
Нет. Немного разное. Мое смещает первую точку в никуда.

load("interpol")$
L:[1,6,15,28]$
(%i3) lagrange(L);
      14 (x - 3) (x - 2) (x - 1)   15 (x - 4) (x - 2) (x - 1)
(%o3) -------------------------- - --------------------------
                  3                            2
                                                        (2 - x) (x - 4) (x - 3)
                      + 3 (x - 4) (x - 3) (x - 1) + -----------------------
                                                                   6
(%i5) a(m,i,L):=sum(prod(if k#j then (i-k) else 1,k,2,m)*L[j]*(-1)^j/((j-2)!*(m-j)!),j,2,m)$

(%i6) a(4,x,L);
(%o6)     14 (x - 3) (x - 2) - 15 (x - 4) (x - 2) + 3 (x - 4) (x - 3)

[juna]

Должен немного подправить:

$$a_{i}=(-1)^{(i+m\mod{2})}\sum_{l=2}^m\left (\frac{\prod_{k=2,k\neq l}^{m}(i-k)}{(l-2)!(m-l)!}\right )\cdot(-1)^l\cdot a_l$$

Кстати, разница с многочленом Лагранжа особо чувствуется для последовательностей, которые не выражаются в виде многочлена:

(%i17) L:makelist(2^i,i,1,5);
(%o17)                         [2, 4, 8, 16, 32]
(%i18) expand(lagrange(L));
                            4    3       2
                           x    x    23 x    3 x
(%o18)                     -- - -- + ----- - --- + 2
                           12   2     12      2
(%i19) expand(a(5,x,L));
                                3
                             2 x       2   34 x
(%o19)                      ---- - 4 x  + ---- - 8
                              3             3

Форматирование конечно кривое, но можно повторить и понять, что интерполяционные многочлены различны.

[DeBill]

juna в сообщении #1152469 писал(а):

разница с многочленом Лагранжа особо чувствуется для последовательностей, которые не выражаются в виде многочлена

Ну еще бы! Если наша функция - многочлен девятой степени, то - восстанавливается по десяти точкам. А если - не многочлен, и мы состряпаем многочлен, то это не будет наш немногочлен....

[juna]

DeBill в сообщении #1152754 писал(а):

juna в сообщении #1152469 писал(а):

разница с многочленом Лагранжа особо чувствуется для последовательностей, которые не выражаются в виде многочлена

Ну еще бы! Если наша функция - многочлен девятой степени, то - восстанавливается по десяти точкам. А если - не многочлен, и мы состряпаем многочлен, то это не будет наш немногочлен....

А чего сказать то хотели?

На самом деле формула была получена не стряпней вокруг многочлена Лагранжа. Посыл был следующий: пусть имеется некоторая знакочередующаяся последовательность $\{a_1,a_2,\ldots,a_m,a_{m+1},\ldots\}$ и пусть

$$\forall m'\geq m: r= \sum_{j=1}^{m'} a_j\cdot\left ( \frac{\sum_{i=j-1}^{m'-1}\binom{m'-1}{i}}{2^{m'-1}}\right ),$$

тогда

$$\sum_{j=1}^{m+1} a_j\cdot\left ( \frac{\sum_{i=j-1}^{m}\binom{m}{i}}{2^{m}}\right )=\sum_{j=1}^{m} a_j\cdot\left ( \frac{\sum_{i=j-1}^{m-1}\binom{m-1}{i}}{2^{m-1}}\right )$$

Из последнего выражаем $a_{m+1}$ через предыдущие.