Симметрия полных волновых функций многочастичных систем

[arseniiv]

Osmiy в сообщении #1152470 писал(а):

Эм... если я скажу что совпадение всех этих параметров у каждой частицы в стоэлектронной системе при различной конфигурации маловероятно, будет достаточно?

А при чём тут стоэлектронная система? У вашего убеждения, по идее, должны быть более ясные корни.

[Osmiy]

Metford в сообщении #1152468 писал(а):

Хорошая опечатка...

Но вы же знаете про отмазку с автозаменителем слов.

-- 19.09.2016, 00:52 --

arseniiv в сообщении #1152472 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152470 писал(а):

Эм... если я скажу что совпадение всех этих параметров у каждой частицы в стоэлектронной системе при различной конфигурации маловероятно, будет достаточно?

А при чём тут стоэлектронная система? У вашего убеждения, по идее, должны быть более ясные корни.

Да есть. Такой системы еще никто не обнаружил.

[arseniiv]

Osmiy в сообщении #1152473 писал(а):

Такой системы еще никто не обнаружил.

Это как? Атома фермия или кусочка медной проволоки вам мало?

[Metford]

Osmiy в сообщении #1152470 писал(а):

В Давыдове есть приписка что практически совпадает с экспериментом

Если Вы о том, что "в такой формулировке принцип Паули может применяться только к системам слабовзаимодействующих частиц, когда можно говорить (хотя бы приближённо) о состояниях отдельных частиц" - так это нужно возвращаться к тому, что говорил Вам arseniiv. Учёт взаимодействия никогда не упрощает жизнь. Но и никаких основ он не подрывает.

[Osmiy]

arseniiv в сообщении #1152475 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152473 писал(а):

Такой системы еще никто не обнаружил.

Это как? Атома фермия или кусочка медной проволоки вам мало?

А что у атома фермия есть разные электронные состояния, но при этом набор энергий, импульсов и моментов электронов совпадают?

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1152464 писал(а):

всех!!! квантовых чисел, т.е. электроны тупо меняются квантовыми состояниями

Вы не могли бы уточнить, каких квантовых чисел и что вы подразумеваете под их перестановкой? Потому что вообще-то да, электроны при перестановке как раз и меняются квантовыми состояниями и никакие числа для этого никуда переставлять не надо.

[Osmiy]

warlock66613 в сообщении #1152479 писал(а):

Вы не могли бы уточнить, каких квантовых чисел и что вы подразумеваете под их перестановкой? Потому что вообще-то да, электроны при перестановке как раз и меняются квантовыми состояниями и никакие числа для этого никуда переставлять не надо.

Те, которые отвечают за пространственный вид координатной части полной ВФ. Т.е. а атоме это главное, орбитальное и магнитное числа, в молекуле - номер молекулярной орбитали.

-- 19.09.2016, 01:14 --

warlock66613 в сообщении #1152479 писал(а):

что вы подразумеваете под их перестановкой?

Тоже самое что и перестановка координат и спина в учебниках, если кратко.

[warlock66613]

Osmiy, эти "квантовые числа" однозначно определяется волновой функцией, так что при перестановке электронов в многоэлектронной волновой функции они "переставляются" автоматически.

[Munin]

Osmiy в сообщении #1152437 писал(а):

При заданном потенциале вроде полное. Нет?

Если нет вырождения по энергии. А оно может быть, и может быть весьма замысловатым, и импульс и момент вам его не снимут.

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1152448 писал(а):

Но $\Pi^2\Psi =\Psi$ (повторная перестановка возвращает частицы обратно)

А вот меня смущает, разве не $\Pi^2\Psi=e^{i\varphi}\Psi$?

Osmiy в сообщении #1152464 писал(а):

У меня ступор в том, что перестановка должна соответствовать перестановке и координат и всех!!! квантовых чисел, т.е. электроны тупо меняются квантовыми состояниями. Вот.

Перестаньте мыслить "квантовыми числами". Вам от этого рано или поздно придётся всё равно избавляться.

Представьте себе одномерное пространство и два электрона. Тогда $\Psi=\Psi(x_1,x_2),$ и это просто себе представить: функция на плоскости. Можно даже гауссов пакетик нарисовать. И вот эта функция должна быть симметрична относительно главной диагонали. Чётна или нечётна (смотря по тому, бозоны электроны или фермионы). Это и есть её "перестановочная симметрия". Вот и всё. Никакого мистического смысла.

-- 18.09.2016 23:36:52 --

Osmiy в сообщении #1152481 писал(а):

Те, которые отвечают за пространственный вид координатной части полной ВФ. Т.е. а атоме это главное, орбитальное и магнитное числа

Это е-рун-да. Вы частный случай возводите в правило. "Квантовые числа" изобретали до 1926 года, до появления настоящей квантовой механики, а потом - бросили. (Потом это же название применили к немного другой сущности - к сохраняющимся величинам элементарных частиц.) Чем скорее вы оторвётесь от "квантовых чисел", и забудете их, тем лучше.

Для начала, почитайте хотя бы про квантование момента в том же ЛЛ-3 (не помню, есть ли параллельная глава у Давыдова, должна быть: это почти сиамские учебники).

[Osmiy]

warlock66613 в сообщении #1152482 писал(а):

Osmiy, эти "квантовые чисела" однозначно определяется волновой функцией, так что при перестановке электронов в многоэлектронной волновой функции они "переставляются" автоматически.

Да. Математически это выражается в смене порядка нумерации электронов (или обобщённых координат электронов) в полной ВФ.
Но с другой стороны эта же перестановка как утверждают "квантовики" эквивалентна симметрии координатной части ВФ относительно координат электронов, находящихся в различных состояниях. Т.е. если у таких электронов поменять друг с другом только значения координат, то модуль значения ВФ не поменяется. Вот.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1152487 писал(а):

Т.е. если у таких электронов поменять друг с другом только значения координат

Нет у электронов никаких "значений координат", которые можно было бы поменять. Есть волновая функция, в одноэлектронном случае $\Psi(\mathbf r)$. И всё, больше никакого состояния у него нет, и никаких отдельных квантовых чисел нет. А если два электрона, то волновая функция будет $\Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$, а в простом одномерном случае $\Psi(x_1, x_2)$ как выше Munin написал.

[Osmiy]

Munin в сообщении #1152484 писал(а):

Представьте себе одномерное пространство и два электрона. Тогда $\Psi=\Psi(x_1,x_2),$ и это просто себе представить: функция на плоскости. Можно даже гауссов пакетик нарисовать. И вот эта функция должна быть симметрична относительно главной диагонали. Чётна или нечётна (смотря по тому, бозоны электроны или фермионы). Это и есть её "перестановочная симметрия". Вот и всё. Никакого мистического смысла.

Сто раз это в одномерном случае делал. Там все шикарно просто. При обмене координатами два электрона обязаны встретиться в одной примечательной точке- точке математической сингулярности. ВФ там претерпевает разрыв и уходит в нуль. В случае антисимметричной ВФ эта точка и будет той узловой точкой. Уже в двухмерном случае при обмене координатами электронам не обязательно встречаться в одной точке, они могут разойтись в стороны, а потом занять свои новые места. Зачем при таком движении ВФ иметь узел, да еще и симметрию. Непонятно.

-- 19.09.2016, 01:55 --

warlock66613 в сообщении #1152491 писал(а):

Osmiy в сообщении #1152487 писал(а):

Т.е. если у таких электронов поменять друг с другом только значения координат

Нет у электронов никаких "значений координат", которые можно было бы поменять. Есть волновая функция, в одноэлектронном случае $\Psi(\mathbf r)$. И всё, больше никакого состояния у него нет, и никаких отдельных квантовых чисел нет. А если два электрона, то волновая функция будет $\Psi(\mathbf r_1, \mathbf r_2)$, а в простом одномерном случае $\Psi(x_1, x_2)$ как выше Munin написал.

Как нету. Вот же $x_1$ и $x_2$. Это и есть значения координат, и им можно менять значения, получая значение ВФ при данных значениях координат.

[warlock66613]

Osmiy в сообщении #1152494 писал(а):

Это и есть значения координат

Ну хорошо, что тогда значит "поменять только значения координат"? Кроме них и менять нечего.

[Osmiy]

Munin в сообщении #1152484 писал(а):

Если нет вырождения по энергии. А оно может быть, и может быть весьма замысловатым, и импульс и момент вам его не снимут.

А пример такой системы известен?

[Munin]

Osmiy в сообщении #1152494 писал(а):

Сто раз это в одномерном случае делал. Там все шикарно просто.

Окей. Теперь введите для каждого электрона потенциальную яму. Пусть это будет "атом". И начинаете развлекаться. (Можно даже ввести межэлектронное взаимодействие...)

Osmiy в сообщении #1152494 писал(а):

При обмене координатами два электрона обязаны встретиться в одной примечательной точке- точке математической сингулярности. ВФ там претерпевает разрыв и уходит в нуль.

Не претерпевает там в.ф. разрыва!!! Она гладко должна уходить в нуль. Такое требование. И из-за этого, она подходит к этому нулю с какой-то производной слева, и выходит из него с той же производной справа.

Osmiy в сообщении #1152494 писал(а):

Уже в двухмерном случае при обмене координатами электронам не обязательно встречаться в одной точке, они могут разойтись в стороны, а потом занять свои новые места. Зачем при таком движении ВФ иметь узел, да еще и симметрию. Непонятно.

Да, верно. Но они всё равно должны "обойти" по кругу некоторую точку. Если взять пространство $(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=(x_1,y_1,x_2,y_2),$ то $x_1=x_2,y_1=y_2$ будет образовывать в нём 2-мерную плоскость. А перпендикулярно ей - другая 2-мерная плоскость (их проще всего увидеть, перейдя к системе "координаты центра масс, относительные координаты"). И в этой второй плоскости, чтобы поменяться местами, электронам надо обойти друг друга по кругу на $\pi$ градусов.

И в этой второй плоскости - в центре тоже будет нуль в.ф., узловая точка. И поскольку она гладкая, то слева и справа производные должны быть одинаковыми. А вообще, на этой плоскости в.ф. должна быть аналогичной $p$-орбитали в атоме (или любой другой с нечётным моментом).

И то же самое будет в любой размерности. А также для любого числа фермионов.

Для бозонов, вместо узла будет пучность.

-- 19.09.2016 00:10:00 --

Osmiy в сообщении #1152502 писал(а):

А пример такой системы известен?

Да сколько угодно. Электроны в бензоле, например.