Неупругий удар

[stedent076]

Навстречу друг-другу летят две шайбы. Известно, что кинетическая энергия одной шайбы в 20 раз больше кинетической энергии другой. При каком отношении масс шайбы после абсолютно неупругого соударения будут двигаться в сторону шайбы, обладавшей меньшей кинетической энергией?
------
Пусть $m$, $v$ – масса и скорость первой шайбы, $M$, $u$ – масса и скорость второй шайбы. Тогда, по закону сохранения импульса:
$m\vec{v}+M\vec{u}=(M+m)\vec{v_1}$. Отсюда $\vec{v_1}=\dfrac{m\vec{v}+M\vec{u}}{M+m}$
Так же, по закону сохранения энергии:
$\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{Mu^2}{2}=\dfrac{(M+m)v_1}{2}+Q$; $Q$– "потеря" энергии ну внутреннюю и тепловую.

$Q=\dfrac{mM(v-u)^2}{2(m+M)}$

Так как $\dfrac{mv^2}{2}=20\dfrac{Mu^2}{2}$,то:

$\dfrac{Mu^2}{2}+10Mu^2=\dfrac{(M+m)^2}{2(mv+Mu)}+\dfrac{mM(v-u)^2}{2(m+M)}$
Не знаю, как записать условие движения в сторону шайбы, обладающей меньшей кинетической энергией. Буду благодарен за помощь!

[Metford]

Закон сохранения импульса нужно записать, проецируя на выбранное направление - знак проекции позволит сформулировать требуемое условие.

[stedent076]

Metford
Пусть 2 шайба движется в положительном направлении. Тогда $\vec{u}_x+\vec{v}_x>0$
Но как к этому прийти от закона сохранения энергии и импульса?

[warlock66613]

stedent076, зачем вам вообще закон сохранения энергии в этой задаче, если известно, что механическая энергия не сохраняется, а с $Q$ ничего полезного придумать нельзя?

[Metford]

Ой, только не нужно вектору ещё и значки проекций приписывать!

Вы предположите, что, например, энергия первой шайбы больше, чем второй. Направьте ось в направлении движения первой шайбы. И спроецируйте импульсы на эту ось, требуя, чтобы проекция импульса системы после соударения была отрицательной. Соотношение энергий позволит исключить исходные скорости шайб.

[stedent076]

warlock66613
Я думал, что с $Q$ можно сделать что-то полезное. Я так понимаю, в этой задаче достаточно только закона сохранения импульса?

-- 18.09.2016, 16:23 --

Metford
Ок, щас попробую

[warlock66613]

stedent076 в сообщении #1152214 писал(а):

Я так понимаю, в этой задаче достаточно только закона сохранения импульса?

Да, потому что вторым ограничением - вместо закона сохранения энергия при упругом ударе - служит утверждение об абсолютной неупругости удара, которым вы так же воспользовались при нахождении конечной скорости шайб. Вам осталось только проанализировать полученный результат (выражение для $\vec{v}_1$), для чего, конечно, удобно перейти к проекциям.

[stedent076]

Metford
warlock66613
Вот такая система?

$$ \begin{cases} $\dfrac{m\vec{v}+M\vec{u}}{M+m}$<0\\ mv^2=20Mu^2 \end{cases} $$

[Metford]

stedent076
Нельзя векторы сравнивать ни с нулём, ни с чем другим. Второе: в проекциях писать нужно, в проекциях...

[stedent076]

Metford
Видите ли, я не очень хорошо себе представляю, что такое проекция импульса. Это проекция скорости, умноженная на скаляр массы тела?

[warlock66613]

stedent076 в сообщении #1152229 писал(а):

что такое проекция импульса

Импульс - это вектор. Вы не знаете, что такое проекция вектора на ось?

[stedent076]

warlock66613
Это отрезок между перпендикулярами, опущеными из концов вектора на ось.

[Metford]

stedent076 в сообщении #1152229 писал(а):

скаляр массы тела

Не нужно так выражаться Будьте проще.

В вашем определении проекции никак не учитывается её возможность иметь тот или иной знак. А для импульса

$$p_x=mv_x$$

В нашем случае движение вообще происходит вдоль одной прямой, так что проекция предполагает просто приписывание импульсу того или иного знака. В зависимости от того, в какую сторону импульс направлен - именно то, что нам и нужно.

[stedent076]

Metford
Получается $mv-Mu>0$

[warlock66613]

stedent076 в сообщении #1152233 писал(а):

Это отрезок между перпендикулярами, опущеными из концов вектора на ось.

Не, по крайней мере в данном контексте под проекцией подразумевается число (координата вектора), а не отрезок. Векторы — это очень удобно, но в какой-то момент нужно перейти к числам, что и совершается обычно введением системы координат и переходам от векторных величин и сотношений к проекциям и уравнениям для проекций.