Изменение радиуса кривизны траектории

[stedent076]

Камень брошен с начальной скоростью $v_0=20$ м/c под углом $\alpha =60^\circ$ к горизонту. Во сколько раз изменится радиус кривизны траектории при полете от начального положения до наивысшей точки траектории?
Радиус кривизны траектории (РКТ) в малой окрестности точки старта можно найти по формуле $R_0=\dfrac{v^2}{a}$ где –$a$ проекция ускорения на нормаль к траектории $v=v_0$, $a=g\cos\alpha$, $R_0=\dfrac{v_0^2}{g\cos\alpha}$. В высшей точке траектории скорость будет равна $v_0\cos\alpha$. Ускорение останется равным $g\cos\alpha$, поэтому РКТ в верхней точке траектории будет равен $R_1=\dfrac{(v_0\cdot\cos\alpha)^2}{g\cos\alpha}$.Тогда отношение радиусов кривизны:
$\dfrac{R_0}{R_1}=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$Правильно ли это? У меня есть некоторые сомнения по поводу постоянности ускорения.

[Metford]

stedent076 в сообщении #1151742 писал(а):

Ускорение останется равным $g\cos\alpha$

Правда?

[stedent076]

Metford
Будь это правдой, Вы бы не спрашивали. .

[Metford]

Цитирую Вас:

stedent076 в сообщении #1151742 писал(а):

Радиус кривизны траектории (РКТ) ... можно найти по формуле $R_0=\dfrac{v^2}{a}$ где –$a$ проекция ускорения на нормаль к траектории

Ничего не хочется исправить для ускорения в верхней точке траектории?

[Munin]

Вообще очень нехорошо проекцию ускорения обозначать буквой $a.$ В физике буквы считаются имеющими определённый смысл.

[Metford]

Кстати, мне в своё время очень не нравилась замена школьного "$a$" для ускорения буквой "$w$". В первом случае хотя бы понятно, что "acceleration", а $w$ - это что? Потом просто привык и даже как-то не задавался вопросом, везде ли принято такое обозначение ускорения.

[stedent076]

Metford
На моих уже 11 часов, что-то путное я вряд ли сейчас Вам скажу. Давайте отложим до завтра.

[arseniiv]

Задачка на завтра: выразить упомянутую проекцию через $\vec v,\vec a$. (См. скалярное произведение; неплохо также пользоваться анализом размерностей.)

[Munin]

(Оффтоп)

У студента 11 вечера как раз самое рабочее время... где-то до 4 утра...

[stedent076]

Metford
Вернемся к нашим баранам. Смотрите, можно ли ускорение представить как следующим образом?

$\vec{a}=\dfrac{d|\vec{v}|}{dt}=\dfrac{d}{dt}\sqrt{(v_0\cos\alpha)^2+(v_0\sin\alpha-gt)^2}$
И подставляя вместо $t$ время на максимальной высоте – $\dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$ сразу легко получить ускорение на макс. высоте.

-- 17.09.2016, 12:58 --

Я, кажется, нашел ошибку. Радиус кривизны в наивысшей точке траектории будет равен $R_1=\dfrac{(v_0\cos\alpha)^2}{g}$

[Metford]

stedent076, Вы просто вспомните, что ускорение тела в любой момент времени есть $\vec{g}$. А дальше нужно его раскладывать на нормальную и тангенциальную составляющую. В верхней точке траектории это особенно просто.
Ответ теперь правильный.

А там ещё arseniiv Вам хорошую задачу предложил...

[DimaM]

stedent076 в сообщении #1151823 писал(а):

Вернемся к нашим баранам. Смотрите, можно ли ускорение представить как следующим образом?
$\vec{a}=\dfrac{d|\vec{v}|}{dt}=\dfrac{d}{dt}\sqrt{(v_0\cos\alpha)^2+(v_0\sin\alpha-gt)^2}$

Это тангенциальное ускорение. А для нахождения радиуса кривизны надо нормальное (которое находится элементарно с помощью максимум одного рисунка).

stedent076 в сообщении #1151823 писал(а):

Я, кажется, нашел ошибку. Радиус кривизны в наивысшей точке траектории будет равен $R_1=\dfrac{(v_0\cos\alpha)^2}{g}$

Вот теперь хорошо.