Об аксиоме подстановки в ZF(C)

[alex_dorin]

Здравствуйте !
Аксиома подстановки в ZF(C) :
$ \forall \bar{z}\forall u(\forall x(x \in u \Rightarrow \exists !y P(x,y,\bar{z})) \Rightarrow \exists w \forall y(y \in w \Leftrightarrow \exists x(x \in u \& P(x,y,\bar{z})))) $
Что изменится, если вместо единственности использовать просто существование ?
$ \exists y P(x,y,\bar{z}) $
Я думаю, такая аксиома подстановки станет слабее, т.к. будет усилена посылка второй импликации.

[arseniiv]

Сильнее станет. Например, можно будет говорить о существовании множества всех множеств, выбрав $P(x,y) \equiv y = y$ и взяв любое непустое множество за основу.

[gefest_md]

alex_dorin, в аксиомах подстановки только единственность, без обязательного существования. $\exists!$ - это и существование тоже.

[Someone]

gefest_md в сообщении #1150923 писал(а):

alex_dorin, в аксиомах подстановки только единственность, без обязательного существования. $\exists!$ - это и существование тоже.

В разной литературе можно встретить оба варианта.

Изменение: вставил цитату, иначе можно подумать, что это относится к вопросу в стартовом сообщении.

[gefest_md]

alex_dorin в сообщении #1149216 писал(а):

просто существование

Подумал, что "мешает" единственность.

-- Вт сен 13, 2016 20:06:47 --

Someone в сообщении #1150995 писал(а):

В разной литературе можно встретить оба варианта.

Констатирую, что авторы статей из википедии разные (квантор существования, аксиоматика теории множеств).

[alex_dorin]

Приведенная аксиома подстановки - из Манин Ю. И. Аксиома подстановки и проблема континуума с. 63
У Takeuti , Zaring - по другому. Отсюда и вопросы.

[gefest_md]

alex_dorin в сообщении #1151336 писал(а):

Приведенная аксиома подстановки - из Манин Ю. И. Аксиома подстановки и проблема континуума с. 63
У Takeuti , Zaring - по другому. Отсюда и вопросы.

Мне кажется, например, что аксиому подмножества (выделения) возможно доказать только с помощью того варианта, который у Такеути, Заринг (только единственность). По-другому у меня не получается. Манин $\exists !$ читает как "существует и единственный" (Доказуемое и недоказуемое, 1979, стр. 75) и использует его в аксиоме подстановки (там же, стр. 139). Никто не запрещает.