Система уравнений

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Дана такая система

$$ \begin{cases} x+3xy+y=3+10\sqrt{2}\\ x^2+y^2=11 \end{cases} $$

Я умножил первое уравнение на $\frac{2}{3}$ и прибавил ко второму, получилось: $x^2+y^2+\frac{2}{3}(x+y)+2xy=11+\frac{2}{3}(3+10\sqrt{2}) \Leftrightarrow (x+y)^2+\frac{2}{3}(x+y)=\frac{20\sqrt{2}+39}{3}.$
Уравнение $(x+y)^2+\frac{2}{3}(x+y)=\frac{20\sqrt{2}+39}{3}$ решил как квадратное и получил два корня
$(x+y)_1=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{60\sqrt{2}+118};$ $(x+y)_2=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{60\sqrt{2}+118}$

$$ \begin{cases} x+3xy+y=3+10\sqrt{2}\\ x+y=-\frac{1}{3}\pm\frac{1}{3}\sqrt{60\sqrt{2}+118} \end{cases} $$

Из-за такой правой части системы у меня не получается вручную посчитать корни.

[gris]

Одно из решений так и прыгает в глаза .
Ну последний двойной радикал разложите в сумму одиночных, раз уж по этому пути пошли. Там не сложно.

[mihailm]

Стандартный момент: если в середине решения появляется сложный радикал, надо попробовать его взять.

[RikkiTan1]

Спасибо! Разложение на одиночные радикалы помогло.