Функции с иррациональными и трансцендентными значениями

[Anton_Peplov]

При знакомстве с самим понятием иррациональных и трансцендентных чисел естественное любопытство порождает целую гору однотипных вопросов. Например, верно ли, что если $x$ рационально, но не $0$, то $\sin x$ иррационально? Верно ли, что если $x$ рационально, но не $0$, то $e^x$ иррационально? Трансцендентно? И т.д. и т.п. Вот где бы мне найти сводку результатов такого рода? Хочется, чтобы там было указано не только что уже доказано, но и что уже опровергнуто, а что остается открытой проблемой. Можно без доказательств - я догадываюсь, что доказательства таких вещей сложны и в них без специальных знаний не разберешься. Мне бы просто для общей эрудиции узнать факты, на вопрос почему я не замахиваюсь. Идеально было бы найти текст на русском, но английский тоже подойдет. Заранее спасибо.

[Sonic86]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 1%81%D0%B0
Теорема Линдемана
Учебник Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа», указанный в ссылке - там подробно этот вопрос разобран, ЕМНИП

[Slav-27]

Anton_Peplov в сообщении #1150901 писал(а):

Например, верно ли, что если $x$ рационально, но не $0$, то $\sin x$ иррационально? Верно ли, что если $x$ рационально, но не $0$, то $e^x$ иррационально? Трансцендентно?

С синусами и экспонентами всё так и есть, такие результаты легко получать пачками с помощью теоремы Линдемана -- Вейерштрасса, которая гласит, что экспоненты различных алгебраических чисел линейно независимы над полем алгебраических чисел.

[Anton_Peplov]

Спасибо.