Полный квадрат из любого числа

[Ktina]

(по мотивам Третьего Южного математического турнира ВДЦ "Орлёнок")

а) Можно ли приписать к числу 2016 одну цифру справа и несколько цифр слева так, чтобы получился полный квадрат?
б) Можно ли проделать то же самое с любым натуральным числом?

[Cash]

а) Заметив, что $13^2=169$, можно поискать основания квадратов среди чисел вида $x\cdot 10^4+13$. Подходят все, для которых $2\cdot 13 \cdot x\equiv 2 \pmod {10}$
Упрощая, получаем $3x\equiv 1 \pmod {5}$

$20013^2=400520169$

$70013^2=4901820169$

и т.д.

Замечу также, что нули слева никто приписывать не запрещал и $142^2=20164$

б) со $101$ не получится. Достаточно рассмотреть все варианты по модулю $10$ и $4$. Останется $\ldots1016$ - делится на $8$ и не делится на $16$.

(Оффтоп)

Эта показалась интересной

[Ktina]

Cash
Спасибо!