Евклидово пространство, канонический и ортонорм. базис.

[NL0]

Существует ли евклидово векторное пространство, в котором нельзя для данного оператора выбрать базис, который был бы одновременно каноническим и ортонормированным?

Мне кажется, что это просто нуль-мерное пространство, потому как там не получится нормировать вектора. Прав ли я?

[svv]

Я бы так ставил вопрос.
Существуют ли операторы в $n$-мерном ($n>1$) евклидовом пространстве, для которых никакой канонический базис не будет ортонормированным? Ответ: да сколько угодно.

(Хотя, конечно, можно сначала задать оператор в $n$-мерном векторном пространстве, а потом различными способами вводить на этом пространстве скалярное произведение, получая различные евклидовы пространства.)

[NL0]

Правильно ли я понимаю, что в качестве примера можно взять нулевой оператор?

[NL0]

svv в сообщении #1149807 писал(а):

Я бы так ставил вопрос.
Существуют ли операторы в $n$-мерном ($n>1$) евклидовом пространстве, для которых никакой канонический базис не будет ортонормированным? Ответ: да сколько угодно.

(Хотя, конечно, можно сначала задать оператор в $n$-мерном векторном пространстве, а потом различными способами вводить на этом пространстве скалярное произведение, получая различные евклидовы пространства.)

Спасибо, а почему ответ на ваш вопрос "да, сколько угодно"?)

[svv]

В $\mathbb E^2$ выберем ортонормированный базис. Скалярное произведение в нём задаётся матрицей $G=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$. Рассмотрим оператор с матрицей $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}$. Существует базис, в котором этот оператор имеет диагональный вид. Можете его найти? Является ли он ортогональным?

[NL0]

svv в сообщении #1149849 писал(а):

В $\mathbb E^2$ выберем ортонормированный базис. Скалярное произведение в нём задаётся матрицей $G=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$. Рассмотрим оператор с матрицей $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}$. Существует базис, в котором этот оператор имеет диагональный вид. Можете его найти? Является ли он ортогональным?

Спасибо. Пока не очень понимаю -- как может в этом базисе скалярное произведение задаваться матрицей.

Я думал, что можно лишь формулой задать, например, так.: $A:B=\sum^n_{i,j=1} a_{ij} b_{ij}$.

Интуитивно понимаю, что вы говорите, скорее всего про базис из собственных векторов. Правильно ли?

-- 07.09.2016, 17:53 --

В $\mathbb E^2$ в качестве ортнонорм. базиса можно взять матрицы: $\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$ (это если считать скалярное произведение по той формуле, что я написал)

[svv]

В ортонормированном базисе скалярное произведение выглядит так (пишу в своих обозначениях):
$(\mathbf a, \mathbf b)=a^T b=\sum\limits_{i=1}^n a_i b_i$
Я понял, что Вы примерно это имели в виду, только у векторов индекс один, а два — у матриц.

Эту формулу можно записать и так:
$(\mathbf a, \mathbf b)=a^T E b$,
где $E$ — единичная матрица. Стоит перейти в неортонормированный базис, как в формуле для скалярного произведения на этом месте появится какая-то матрица почти произвольного вида (правда, симметричная, невырожденная, положительно определённая). А векторы (с соответственно пересчитанными компонентами!) так и останутся:
$(\mathbf a, \mathbf b)=a^T G b=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n g_{ik} a_i b_k $
И это уже общий случай. Неортонормированные базисы тоже важны, и чтобы находить в них скалярное произведение (а с его помощью длины и углы), не переходя постоянно в другой «красивый» базис, достаточно найти матрицу $G$ в этом базисе и пользоваться предыдущей формулой.

Мой выбор $G$ (единичная) указывает на выбор ортонормированного базиса. Но какой будет соответствующая матрица в каноническом базисе оператора?

Вы правильно вспомнили про собственные векторы.

-- Ср сен 07, 2016 17:14:01 --

NL0 в сообщении #1149860 писал(а):

В $\mathbb E^2$ в качестве ортнонорм. базиса можно взять матрицы: $\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$ (это если считать скалярное произведение по той формуле, что я написал)

Нет, базис векторного пространства состоит из векторов. У нас это $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$. Количество векторов в базисе равно размерности пространства (то есть $2$).

[NL0]

Базис получился такой: $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$.
Правильно? (это собственные вектора той матрицы $A$, про которую вы писали)

-- 07.09.2016, 18:34 --

Скалярное произведение полученных мною собственных векторов равно $1$ (считал по этой формуле$(\mathbf a, \mathbf b)=a^T E b$ )

-- 07.09.2016, 18:38 --

Полученные собственные вектора не ортогональные, потому базис не ортонормтрован, правильно?

[svv]

Первый собственный вектор правильный, а второй проверьте, мне кажется, там «наоборот».
Действительно, скалярное произведение не равно нулю. И это уже говорит о том, что базисные векторы неортогональны.
В ортонормированном базисе можно пользоваться и более простой формулой
$(\mathbf a, \mathbf b)=a^T b=\sum\limits_{i=1}^n a_i b_i$
В общей формуле этому частному случаю соответствует единичная матрица, задающая скалярное произведение (т.е. $G=E$). А «работать по-настоящему» матрица $G$ начинает в произвольных базисах.

[NL0]

Спасибо, понятно. А если базис не ортонорм, то как искать матрицу, на которую меняется единичная в скал ярном произведении?

[arseniiv]

А как вы узнали, на что меняется матрица оператора при смене базиса? Таким же образом можно узнать, что будет с матрицей билинейной формы (скалярное произведение — это билинейная форма).