Как преобразовать комплексное выражение

[blueboar2]

Есть выражение $-\frac1n\sum_{k=1}^nx_k\log(x-x_k)+C$, где $x_k$ - комплексное число. Нужно как-то преобразовать это выражение в выражение $-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac12 x_{kr}\log(x^2-2x_{kr}x+1)-x_{ki}\arctg\left(\frac{x-x_{kr}}{x_{ki}}\right)\right)+C'$, где $x_{kr}$ - реальная часть комплексного числа $x_k$, а $x_{ki}$ - мнимая часть.

Как это сделать, даже примерно не представляю.

[Vince Diesel]

Второе выражение - это действительная часть первого при условии, что $x$ действительно, а $|x_k|=1$.

[blueboar2]

Это я знаю. Только не представляю как из первого получить второе. Ткните что ли в формулу, попробую применить

-- 07.09.2016, 20:21 --

Ага. Получил ответ в реальной части. А в мнимой пока не могу.

$\[\begin{array}{l} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} \ln (x - {x_k}) + C = - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {({x_{kr}}\ln (x - {x_k}) + i{x_{ki}}\ln (x - {x_k}))} + C = \\ = - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {({x_{kr}}\ln (x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}) + i{x_{ki}}\ln (x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}))} + C = \\ = - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {(\frac{1}{2}{x_{kr}}\ln ({{(x - {x_{kr}})}^2} + {x^2}_{ki}) + i{x_{ki}}\ln (x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}))} + C = \\ = - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {(\frac{1}{2}{x_{kr}}\ln ({x^2} - 2{x_{kr}}x + {x_{kr}}^2 + {x^2}_{ki}) + i{x_{ki}}\ln (x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}))} + C = \\ = - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {(\frac{1}{2}{x_{kr}}\ln ({x^2} - 2{x_{kr}}x + 1) + i{x_{ki}}\ln (x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}))} + C \end{array}\]$

[arseniiv]

blueboar2 в сообщении #1149859 писал(а):

Это я знаю.

Прекрасно, а других почему не проинформировали?

Кстати, можно же отцепиться от $\sum$ и лишних индексов. Тут каждое слагаемое само за себя, и вполне достаточно рассмотреть любое одно.

[blueboar2]

Еще попробовал вот так

$- \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} \ln (x - {x_k}) + C=- \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} \ln (x - {x_{kr}}-i{x_{ki}}) + C$

Преобразуем наше число $x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}$ в показательную форму. Модуль будет равен $\sqrt{(x-x_{kr})^2+x_{ki}^2}=\sqrt{x^2-2x\cdot{x_{kr}}+x_{ki}^2+x_{kr}^2}=\sqrt{x^2-2x\cdot{x_{kr}}+1}$ (если учесть что модуль $x_{k}$ равен 1. Найдем аргумент комплексного числа $x - {x_{kr}} - i{x_{ki}}$. Он равен $\arctg\frac{-x_{ki}}{x - x_{kr}}=-\arctg\frac{x_{ki}}{x - x_{kr}}$

Тогда применяем формулу $\operatorname{Ln}(z)=\ln(r)+i\cdot\varphi$ (если не рассматривать периодичность). И получаем:

$- \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} \ln \sqrt{x - {x_{kr}}-i{x_{ki}}} + C = - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{2}{{x_k}} (\ln(x^2-2x_{kr}x+1) -i\arctg\frac{x_{ki}}{x - x_{kr}} ) +C$

Похоже на ответ, но не совсем. В принципе если представить $x_k=x_{kr}+i\cdot{x_{ri}}$ и перемножить скобки, то как раз получится почти то что надо (в реальной части). Но будет еще и мнимая. Плюс дробь в арктангенсе почему-то наоборот.