Вот что получилось. Проверьте, пожалуйста.
Заметим, что или

, или

, в противном случае корень просто не существует. Воспользуемся подстановками Эйлера.
Случай 1) Если

, то применим подстановку

Возведем обе части в квадрат и выразим z:
![\[\begin{array}{l}
{c_1}{z^2} + {d_1} = {c_1}{z^2} + 2\sqrt {{c_1}} tz + {t^2}\\
2\sqrt {{c_1}} tz = {d_1} - {t^2}\\
z = \frac{{{d_1}}}{{2\sqrt {{c_1}} t}} - \frac{t}{{2\sqrt {{c_1}} }}\\
dz = ( - \frac{{{d_1}}}{{2\sqrt {{c_1}} {t^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt {{c_1}} }})dt
\end{array}\] \[\begin{array}{l}
{c_1}{z^2} + {d_1} = {c_1}{z^2} + 2\sqrt {{c_1}} tz + {t^2}\\
2\sqrt {{c_1}} tz = {d_1} - {t^2}\\
z = \frac{{{d_1}}}{{2\sqrt {{c_1}} t}} - \frac{t}{{2\sqrt {{c_1}} }}\\
dz = ( - \frac{{{d_1}}}{{2\sqrt {{c_1}} {t^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt {{c_1}} }})dt
\end{array}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/3/e635992972f35b604b89484f8dc31f7782.png)
Таким образом, наш интеграл станет равен

Видно, что теперь наша рациональная функция зависит только от t в различных целочисленных степенях. Следовательно, мы свели интегрирование первоначального интеграла к интегрированию рациональной функции.
Случай 2) Если

, то применим подстановку

Возведем обе части в квадрат и выразим z:
![\[\begin{array}{l}
{c_1}{z^2} + {d_1} = {z^2}{t^2} + 2\sqrt {{d_1}} zt + {d_1}\\
{c_1}{z^2} = {z^2}{t^2} + 2\sqrt {{d_1}} zt\\
{c_1}z = z{t^2} + 2\sqrt {{d_1}} t\\
z({c_1} - {t^2}) = 2\sqrt {{d_1}} t\\
z = \frac{{2\sqrt {{d_1}} t}}{{{c_1} - {t^2}}}\\
dz = \frac{{2\sqrt {{d_1}} \cdot ({c_1} - {t^2}) - 2\sqrt {{d_1}} t \cdot ( - 2t)}}{{{{({c_1} - {t^2})}^2}}}dt = \frac{{2\sqrt {{d_1}} {c_1} - 2\sqrt {{d_1}} {t^2} + 4\sqrt {{d_1}} {t^2}}}{{{{({c_1} - {t^2})}^2}}}dt = \frac{{2\sqrt {{d_1}} ({c_1} + {t^2})}}{{{{({c_1} - {t^2})}^2}}}dt
\end{array}\] \[\begin{array}{l}
{c_1}{z^2} + {d_1} = {z^2}{t^2} + 2\sqrt {{d_1}} zt + {d_1}\\
{c_1}{z^2} = {z^2}{t^2} + 2\sqrt {{d_1}} zt\\
{c_1}z = z{t^2} + 2\sqrt {{d_1}} t\\
z({c_1} - {t^2}) = 2\sqrt {{d_1}} t\\
z = \frac{{2\sqrt {{d_1}} t}}{{{c_1} - {t^2}}}\\
dz = \frac{{2\sqrt {{d_1}} \cdot ({c_1} - {t^2}) - 2\sqrt {{d_1}} t \cdot ( - 2t)}}{{{{({c_1} - {t^2})}^2}}}dt = \frac{{2\sqrt {{d_1}} {c_1} - 2\sqrt {{d_1}} {t^2} + 4\sqrt {{d_1}} {t^2}}}{{{{({c_1} - {t^2})}^2}}}dt = \frac{{2\sqrt {{d_1}} ({c_1} + {t^2})}}{{{{({c_1} - {t^2})}^2}}}dt
\end{array}\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/3/d33705d9327fe788656d1814c731639282.png)
Таким образом, наш интеграл станет равен

Видно, что теперь наша рациональная функция зависит только от t в различных целочисленных степенях. Следовательно, мы свели интегрирование первоначального интеграла к интегрированию рациональной функции.