Мощность множества биекций интервала на себя

[Mikhail Sokolov]

Подскажите, пожалуйста, какова мощность множества всех биекций действительного интервала на себя? И как это доказывается?

Спасибо.

[ИСН]

Следующая после континуума. А как доказать... ну, свести как-нибудь к утверждению, что множество всех подмножеств кого-то - больше, чем этот кто-то...

[AD]

ИСН писал(а):

Следующая после континуума.

Как-то вы неосторожно. Гиперконтинуум (который $\left|2^\mathbb{R}\right|$)- это совсем не то же самое.

[Профессор Снэйп]

Mikhail Sokolov писал(а):

Подскажите, пожалуйста, какова мощность множества всех биекций действительного интервала на себя?

Ответ вам уже сказали: гиперконтиннуум, то есть $2^c$ или мощность множества всех подмножеств множества мощности континуум.

Mikhail Sokolov писал(а):

И как это доказывается?

Пусть $X$ --- произвольное бесконечное множество и $B(X)$ --- множество всех перестановок $X$ (то есть биекций $X$ на себя).

С одной стороны каждый элемент $B(X)$ --- это подмножество $X \times X$, так что $|B(X)| \leqslant |\mathcal{P}(X \times X)| = |\mathcal{P}(X)|$.

C другой стороны, пусть $R$ --- произвольное отношение эквивалентности на $X$, каждый класс которого содержит ровно $2$ элемента. Ясно, что $|X/R| = |X|$. Для произвольного $U \subseteq X/R$ пусть $\alpha(U)$ --- перестановка множества $X$, такая что для любого $x \in X$ справедливы следующие утверждения:

1) $\alpha(U)(x)$ эквивалентно $x$ (по отношению $R$);
2) $\alpha(U)(x) = x \Leftrightarrow [x]_R \in U$.

Ясно, что $\alpha$ есть инъекция из $\mathcal{P}(X/R)$ в $B(X)$. Таким образом, $|\mathcal{P}(X)| = |\mathcal{P}(X/R)| \leqslant |B(X)|$.

Имея эти две оценки, по теореме Кантора-Бернштейна заключаем, что $|B(X)| = |\mathcal{P}(X)|$.

P. S. Утверждению, высказанному ИСН, верить не следует. Оно зависит от ОКГ и не обязано быть верным. Замечание AD по этому поводу совершенно справедливо.

[Mikhail Sokolov]

Большое спасибо.

[ИСН]

Ладно, "cледующая после" - это я да, мягко говоря, сказал очень приблизительно. As in "Что-то большое: больше оленя, больше юрты. Как называть - не знаем."