Незнакомое мне матричное уравнение

[NPrim]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

У меня есть такое матричное уравнение:

$$\bar{e} X A = \bar{e} A^T X .$$

В нем $\bar{e}$ — это вектор-строка размера $1 \times n$, который состоит из единиц; $X$ — диагональная матрица размера $n \times n$; $A$ — квадратная матрица того же размера. Известно, что матрица $A$ обратима, и что первый элемент матрицы $X$ равен единице: $x_{1\,1} = 1.$

Я хочу узнать формулу для нахождения всех ненулевых элементов диагональной матрицы $X.$ Но мои собственные попытки решения сводятся к преобразованиям

$$\bar{e} X = \bar{e} A^T X A^{-1} $$

и

$$\bar{e} X A X^{-1} = \bar{e} A^T,$$

которые ничего не дают.

Можно ли явно выразить матрицу $X$ через матрицы $A, \; A^T, \; A^{-1}$?

Математикой я занимаюсь как хобби, время от времени и бессистемно. Познания в математике фрагментарные и неглубокие. Подобных уравнений раньше не встречал. Подозреваю, что тут что-то очень простое, но самостоятельно ответить на свой вопрос не могу. Буду рад любой помощи.

[Aritaborian]

Обычный первый совет в таких случаях: начните разбирать конкретные примеры с малыми $n$, начиная с $n=2$ и, возможно, наткнётесь на закономерность и всё станет ясно. Вы пока займитесь этим, а потом сюда подойдут настоящие математики, скажут вам, что я наговорил фигни и дадут вам настоящее решение ;-) Но вы пока займитесь, они ж ещё не пришли.

[NPrim]

Aritaborian, cледуя Вашему совету, рассмотрел случай с $n = 2.$ Он прост: $x_{22} = {a_{12}}/{a_{21}}$. А вот какая система уравнений получается при $n=3$:

$$ \begin{cases} x_{11}a_{11} + x_{22}a_{21} + x_{33}a_{31} = x_{11} (a_{11} + a_{12} + a_{13}),\\ x_{11}a_{12} + x_{22}a_{22} + x_{33}a_{32} = x_{22} (a_{21} + a_{22} + a_{23}),\\ x_{11}a_{13} + x_{22}a_{23} + x_{33}a_{33} = x_{33} (a_{31} + a_{32} + a_{33}). \end{cases} $$

Если убрать все лишнее, т. е. диагональные элементы слева и справа, получится так:

$$ \begin{cases} \phantom{x_{11}a_{11}\, +\, } x_{22}a_{21}\, +\, x_{33}a_{31} = \phantom{x_{11}}( \phantom{a_{11}\, + \,} a_{12}\, +\, a_{13}),\\ \phantom{x_{11}}a_{12}\,\phantom{+\,x_{22}a_{22}\,}+\, x_{33}a_{32} = x_{22} (a_{21}\,\phantom{+\,a_{22}\,}+\,a_{23}),\\ \phantom{x_{11}}a_{13}\,+\,x_{22}a_{23}\,\phantom{+\,x_{33}a_{33}\,} = x_{33} (a_{31} + a_{32}\phantom{\,+\,a_{33}}). \end{cases} $$

Умножаем первое уравнение на a_{32}/a_{31}$ и вычитаем его из второго, находим чему равно $x_{22}$. Аналогично находим $x_{33}$.

Так, если не запутался в коэффициентах:

$$x_{22} = \frac{a_{12}(a_{31} + a_{32}) + a_{13}a_{32}}{a_{21}(a_{31} + a_{32}) + a_{23}a_{31}},$$

$$x_{33} = \frac{a_{13}(a_{21} + a_{23}) + a_{12}a_{23}}{a_{31}(a_{21} + a_{23}) + a_{32}a_{21}}.$$

[Red_Herring]

У Вас есть $n^2$ неизвестных и $n$ линейных уравнений (условие $x_{11}=1$ лишь выбирает коэффициент пропорциональность. Очень недоопределенная система.


-------
Тут мне заметили, что $X$ диагональная матрица. Тогда мое замечание снимается.

В частном случае когда $A$ диагональная матрица любая диагональная матрица $X$ удовлетворяет.

[Xaositect]

Red_Herring, неизвестных тоже $n$, там диагональная матрица.

NPrim в сообщении #1148756 писал(а):

Если убрать все лишнее, т. е. диагональные элементы слева и справа

Я бы не стал убирать, если не убирать, то достаточно хорошо видно общий вид этой системы, для $3\times 3$ будет такой:

$$\begin{cases} (-a_{12} - a_{13}) x_{11} + a_{21} x_{22} + a_{31} x_{33} = 0\\ a_{12} x_{11} + (-a_{21}-a_{23}) x_{22} + a_{32} x_{33} = 0\\ a_{13} x_{11} + a_{23} x_{22} + (-a_{31}-a_{32}) x_{33} = 0 \end{cases}$$

Видно, что у этой системы всегда есть нетривиальное решение. А дальше если $x_{11}$ не равно $0$, то его можно сделать равным $1$.

[Евгений Машеров]

Red_Herring в сообщении #1148763 писал(а):

Тут мне заметили, что $A$ диагональная матрица. Тогда мое замечание снимается.

Насколько я понял условие, диагональна лишь матрица $X$

[sergei1961]

Насколько я помню, для матричного уравнения $AX-XB=C$ есть явная формула для решения. Не так?

[Red_Herring]

sergei1961 в сообщении #1148809 писал(а):

Насколько я помню, для матричного уравнения $AX-XB=C$ есть явная формула для решения. Не так?

Да, если $A$ и $B$ не имеют общих собственных значений.
$X=-(2\pi i)\oint _\Gamma (z-A)^{-1}C(z-B)^{-1}\,dz,$$
где $\Gamma$ замкнутый, обходимый против часовой стрелки контур, содержащий внутри все с.з. $A$ и снаружи все с.з. $B$.

[Metford]

(Оффтоп)

Там $X$ слева, нет? Что-то я плохо понимаю, как этот интеграл устроен... Red_Herring, где об этом можно прочитать? Интересно.

[dsge]

Это уравнение Ляпунова
https://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_equation

[sergei1961]

Другая ссылка: Беллман, Введение в теорию матриц, с. 212. Явное решение через матричный интеграл.

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1148842 писал(а):

где об этом можно прочитать?

Не знаю. Но проверьте, что это дает решение

[Metford]

Да я бы проверил, только не приходилось раньше с подобными формулами сталкиваться. Почитаю то, что sergei1961 посоветовал (за что отдельное спасибо!).

[DeBill]

Xaositect
Ну да, в общем случае так и будет:
$\sum\limits_{j}^{} A_{ji}\lambda_j = \lambda_i \sum\limits_{k}^{} A_{ik}, i=1,...,n$.
Система однородная, но ур-я - зависимы: если сложить все ур-я, будет $0=0$. Значит, есть нетрив-е решения. Полагаем $\lambda_1 = 1,$ выбрасываем последнее ур-е - и (если повезет - см. замечание Xaositect) находим решение....
К таким системам приводит задача о стац. состояниях марковских цепей (с конечным числом состояний и непр. временем)

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1148859 писал(а):

Да я бы проверил, только не приходилось раньше с подобными формулами сталкиваться.

Считайте упражнением по ТФКП (формула Коши)