Интересная сумма (комбинаторика, мат. анализ)

[Tanya1212]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с суммой

$\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1}\frac {C_n^i}{\sqrt{i}}$

Мне надо ее вычислить (что маловероятно, я думаю) или оценить сверху..Я просто никогда не встречала подобные суммы с корнями. Заранее огромное спасибо за любые предложения!

[maxal]

Метод суммирования Абеля должен помочь оценить ее асимптотику.

[Tanya1212]

Мне кажется, что не получится. Эта сумма - член последовательности. Член числового ряда - это разность двух последовательных членов последовательности. Задача сложнее становится..Спасибо, что ответили Может еще какие-нибудь идеи есть.

[Руст]

Это выражается через квантовую производную от $\frac{1}{\sqrt x}$ n -го порядка и поэтому легко находится асимптотика стандартными методами.

[Tanya1212]

Большое спасибо! Поразбираюсь, напишу, что вышло..

[antbez]

Напомните, пож-ста, что такое "квантовая производная"

[maxal]

antbez писал(а):

Напомните, пож-ста, что такое "квантовая производная"

http://mathworld.wolfram.com/q-Derivative.html

[antbez]

Спасибо большое! А откуда происходит название "квантовая"? И где они применимы? Не в квантовой механики, как мне кажется!

[Tanya1212]

К сожалению, через квантовую производную не получается. Вот общая формула квантовой производной n-го порядка

f^{(n)}(x)=(1-q)^{-n}x^{-n}\sum_{k=0}^n(C^k_n)_q(-1)^kq^{-k(n-k)}q^{-\frac{k(k-1)}{2}}f(q^kx)

Нужно чтобы деление было на \sqrt{k}, а в формуле останется деление на корень из x, конкретное значение..Другие функции не смогла подобрать. Спасибо за советы! Есть еще идеи? Все еще оочень актуальный вопрос. Замучилась уже!

[Руст]

Вы использовали первый тип такой производной из книги Ченя, есть ещё используемая в виде $Df=f(x+1)-f(x)$ используемая в разностных методах.

[Tanya1212]

Вы на форуме Вы про эту книгу: В.Г. Кац и П. Чен «Квантовый анализ» (издательство МЦНМО, 2005 год)? Она есть в электронном виде? Или лекции по ней в электронном виде?

[Руст]

Да.

[maxal]

antbez писал(а):

Спасибо большое! А откуда происходит название "квантовая"? И где они применимы? Не в квантовой механики, как мне кажется!

"квантовый" в данном случае слэнг. С квантовой механикой эти понятия напрямую никак не связаны. Про историю и использование - см.
http://en.wikipedia.org/wiki/Q-analog
http://mathworld.wolfram.com/q-Analog.html

[antbez]

Спасибо ещё раз! Да, там очень интересные области применения!

[Tanya1212]

Если воспользоваться квантовой производной Df=f(x+1)-f(x), то квантовая производная функции \frac{1}{\sqrt{x}} n-го порядка равна
f^{(n)}=(-1)^{n+1}\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i+1}\frac{C_n^i}{\sqrt{x+i}}
Откуда имеем
\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\frac{C_n^i}{\sqrt{x+i}}=\frac{1}{\sqrt{x}}(1-\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}*\frac1{x^n})
Функция (справа) около 0 разлетается (потому что предел \frac{1}{\sqrt{x}} не определен), но скажем при x\ge n она ведет себя как моя сумма, монотонно убывающая, выпукла вниз. Если представить, что она от x=n до 0 продолжает вести себя так же, то можно найти, чему равная моя сумма. Осталось понять, как ее продолжить.. Что можете предложить? (я пока производные кручу)

Огромное спасибо Русту за квантовую производную, я бы сама не догадалась!