Вещественная прямая/числовая ось

[Archie_Sawicki]

Доброго времени суток. При изучении линейной алгебры по Ильину, Позняку возник вопрос. Началось все с определения формы на векторном пространстве. В силу того что в курсе не вводится понятие поля, форма определяется как оператор $A\colon V\to W$, где $W$ - комплексная плоскость и в скобках написано одномерное линейное пространство.(получается поле одномерное линейное пространство?)

В тот же момент меня начало смущать, что обозначение числовой оси, на которой откладываются через отрезки вещественные числа, такое же как и у одномерного евклидова пространства. мало того числовую ось иногда называют вещественной прямой.
как это понять? Получается просто отождествляют наглядное представление числового поля с одномерным евклидовым пространством? (и если это так, то всякому числу будет соответствовать координата вектора на оси, а не величина отрезка. но допустим если провести инверсию то сама координата вектора на оси изменится, поскольку уже числу соответствует какое то направление а не отрезок на оси. получается скаляр поменяет знак)


и теперь мне с трудом понимается простая функция одного переменного. получается ее можно мыслить как функцию координат радиус вектора в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^2$. я всегда думал, что функция (в общем случае многих переменных) задается на декартовом произведение числовых множеств. но с другой стороны возможность преобразования уравнения кривых и поверхностей ведь строится на их геометрическом представлении.(тогда в чем разница между графиком функции и кривой/числовой функции одного переменного и уравнении кривой в $\mathbb{R}^2$) в общем помогите разобраться, а то у меня уже третий день диссонанс.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

На первый раз я поправил формулы, дальше оформляйте правильно сами, см. Краткий FAQ по тегу [math]

[Munin]

Форма - это не поле. Это скорее что-то близкое к вектору (ковектор). Вот дальше начнутся дифференциальные формы, они действительно будут аналогами полей.

"Одномерное евклидово пространство" - как и вообще "евклидово пространство", в разных случаях понимается по-разному, и соответствует разным математическим объектам. Надо на это обращать внимание, и ориентироваться по вводным пояснениям и по контексту. А именно:
- "школьное" евклидово пространство (или метрическое пространство, или точечное евклидово пространство) - такое, в котором все точки равноправны;
- евклидово векторное (или линейное) пространство - такое, в котором есть одна выделенная точка (начало координат).
В векторном пространстве, каждая точка может быть отождествлена с вектором, отложенным от начала координат. Тут нет никакой разницы, говорить ли о точках или о векторах - это одни и те же математические объекты. И в линейной алгебре именно так обычно и происходит.
Но в точечном пространстве (привычном со школы), точки и векторы - разные сущности. Вектор является разностью двух точек. Но суммы двух точек не дефинировано. То есть, к точечному пространству "прилагается" векторное, как пространство всевозможных разностей (или параллельных сдвигов) точек исходного пространства.

Комплексную плоскость можно назвать одномерным пространством, но только в смысле "одномерным комплексным пространством". Если его рассматривать как вещественное пространство, то только как двумерное. Тут возникает неоднозначное чтение слова "$n$-мерный", за этим тоже надо следить ($n$ комплексных измерений соответствуют $2n$ вещественных).

И наконец, функция задаётся на декартовом произведении числовых множеств, но не только. В общем смысле, функция может быть задана на множестве произвольной природы.

-- 30.08.2016 12:04:26 --

Archie_Sawicki в сообщении #1147745 писал(а):

тогда в чем разница между графиком функции и кривой/числовой функции одного переменного и уравнении кривой в $\mathbb{R}^2$

Разница, действительно, не слишком велика, хотя для некоторых фактов и теорем - ключевая. И вправду, часто график рассматривают как кривую, а кривую - как график. Но график обладает тем свойством, что пересекает каждую вертикальную прямую в одной точке. А на языке уравнений, разница в том, что уравнение кривой в общем виде - это $F(x,y)=0,$ а уравнение кривой - графика функции - это $y=f(x).$ Иногда встречаются функции, заданные уравнением $F(x,y)=0$ - неявно заданные функции. Про такие функции иногда даже нет гарантии, что это именно функция, а не просто какая-то кривая или даже множество.

Примеры уравнений, задающих не кривую:

$x^2+y^2=0;$
$x+|x|+y+|y|=0.$

[Archie_Sawicki]

Munin
спасибо большое! но хотелось бы окончательно устранить неясности на конкретном примере. Допустим мы имеем функцию двух переменных в явном виде. Нам дана некоторая поверхность в трехмерном пространстве соответствующая ей. Эту поверхность можно мыслить как множество точек концов радиус вектора, но с другой стороны как просто множество точек в пространстве ведь так? в первом случае получается функция координат радиус-вектора, а во втором отображение точек плоскости в трехмерное пространство, ведь так? причем точки плоскости это декартово произведение числовых множеств. и конкретно тут мне кажется разница в том, что движение, поворот базиса в первом случае приводит к преобразованию вида уравнения, а во втором нет.(т.е мы как бы таскаем эту поверхность в пространстве вместе с координатными осями) или я ошибаюсь?

[Metford]

Archie_Sawicki в сообщении #1147787 писал(а):

во втором отображение точек плоскости в трехмерное пространство

Секунду. Если у Вас явная функция двух переменных, т.е. что-то вида $z=f(x,y)$, то почему отображение в трёхмерное пространство?

Archie_Sawicki в сообщении #1147745 писал(а):

Началось все с определения формы на векторном пространстве. В силу того что в курсе не вводится понятие поля, форма определяется как оператор $A\colon V\to W$, где $W$ - комплексная плоскость и в скобках написано одномерное линейное пространство.(получается поле одномерное линейное пространство?)

Я так понимаю, что Вы говорите про определение функционала. Если говорить совсем просто, то это отображение, которое ставит в соответствие элементу линейного пространства число. Комплексное или вещественное. Т.е. в самом определении не играет роли, как Вы рассматриваете комплексные числа: как комплексную плоскость (как Вы говорите) или как одномерное комплексное пространство (как Munin говорит).

[Munin]

Archie_Sawicki в сообщении #1147787 писал(а):

Эту поверхность можно мыслить как множество точек концов радиус вектора, но с другой стороны как просто множество точек в пространстве ведь так?

Вопрос в том, в каком пространстве. Пространства разные бывают.

В данном случае, это пространство с отмеченной точкой (началом координат) и с отмеченными направлениями осей. Да, в таком пространстве - можно рассматривать такое множество точек.

Но я подозреваю, что вы подразумеваете "школьное" пространство, а оно получается из данного "стиранием" начала и осей координат. При этом происходит некоторая потеря информации - о том, как именно множество точек было расположено, и как повёрнуто (ориентировано).

В линейной алгебре рассматривается только первый случай. И там да, чтобы повернуть множество точек, надо совершить дополнительное действие - движение (что не то же самое, что поворот базиса!).

Извините, что конспективно. Больше сейчас написать не могу, полагаюсь на других отвечающих.

[arseniiv]

Archie_Sawicki в сообщении #1147745 писал(а):

(получается поле одномерное линейное пространство?)

Поле в смысле алгебры? Да, оно одномерное векторное пространство над собой.

Archie_Sawicki в сообщении #1147745 писал(а):

В тот же момент меня начало смущать, что обозначение числовой оси, на которой откладываются через отрезки вещественные числа, такое же как и у одномерного евклидова пространства. мало того числовую ось иногда называют вещественной прямой.
как это понять? Получается просто отождествляют наглядное представление числового поля с одномерным евклидовым пространством?

В одномерном евклидовом пространстве не задана ориентация, а у вещественной прямой она есть, потому что единица выделена.

[Mikhail_K]

Archie_Sawicki в сообщении #1147745 писал(а):

и теперь мне с трудом понимается простая функция одного переменного. получается ее можно мыслить как функцию координат радиус вектора в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^2$. я всегда думал, что функция (в общем случае многих переменных) задается на декартовом произведение числовых множеств.

Если я правильно понял Ваш вопрос. У Вас есть числовая функция $z=f(x,y)$ двух числовых переменных $x$, $y$. Вы не можете решить, как Вам её понимать: то ли как отображение $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, то ли как отображение $E^2\to\mathbb{R}$, где $E^2$ - двумерное евклидово (или, скажем, аффинное) пространство. Вас смущает, что эти толкования, вроде бы, различны: в евклидовом пространстве $E^2$ самом по себе нет выделенного базиса (а если понимать его как пространство точек, а не векторов - т.е. как евклидово аффинное пространство - то ещё и нет выделенного начала координат), а в $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ есть выделенное начало координат $(0,0)$ и есть выделенный базис $\{(1,0),\,(0,1)\}$.

Всё это так, но в большинстве случаев можно не обращать внимания на это всё и отождествить $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ с двумерным евклидовым пространством (или евклидовым аффинным пространством), зафиксировав раз и навсегда в последнем начало координат и базис.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1147834 писал(а):

Поле в смысле алгебры?

Скорее всего, в смысле анализа функций нескольких переменных (скалярное поле, векторное поле, возможно даже тензорное поле).

[Archie_Sawicki]

arseniiv
да ! совершенно верно! я имел ввиду можно ли понимать поле (алгебру) как одномерное линейное пространство над самим собой

-- 31.08.2016, 07:45 --

Mikhail_K
но я все это время так и думал, что у трехмерного евклидова пространства есть и начало координат, и числовые оси и базисные орты. Т.е я имел ввиду конкретно евклидово пространство называемое в литературе пространством свободных векторов (пространством геометрических векторов). мне кажется во всякой литературе имеют ввиду именно это. единственное, что теперь меня стало смущать, так что в таком пространстве оси сонаправленные базисным ортам не возникают естественным образом? (в том то и дело, что я всегда и фиксировал для себя начало координат, базис и оси соответствующие ортам)

-- 31.08.2016, 07:46 --

Munin
ой, мне как раз таки привычнее определение евклидова пространства как линейного пространства с заданным на нем скалярным произведением. Школьную геометрию я в свою время прошел мимо.

-- 31.08.2016, 07:48 --

а вот теперь какой вопрос. когда говорят об инвариантных величинах в векторных пространствах, то приводят примеры скаляра прежде всего. но и часто приводят значение функции в точке. можете объяснить почему значение функции не меняется в евклидовом пространстве при смене базиса. т.е если со скаляром все ясно (он как бы существует "параллельно", поскольку над полем задается векторное пространство), то например с той же функцией двух переменных (наглядным образом которой служит поверхность в трехмерном евклидовом пространстве) не ясно. поскольку опять же при смене базиса преобразуется и уравнение.
извините, если опять вызову недоразумения

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Блестящий троллинг, я в восхищении! И сколько народу повелось, снимаю шляпу перед Мастером с Большой Буквы! Задал себе вопрос: "смог бы я так потроллить, удерживая ловкими вопросами в орбите троллинга всех вступивших в диалог?" и с грустью ответил себе же :"нет, увы, это не мой уровень!"

[Munin]

Archie_Sawicki в сообщении #1148027 писал(а):

Школьную геометрию я в свою время прошел мимо. :D

Тогда я пас.
Brukvalub
Hat up.

[Archie_Sawicki]

спасибо всем за ответы!. по свежей голове с утра подумал, разобрался. всего доброго!

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Archie_Sawicki в сообщении #1148065 писал(а):

спасибо всем за ответы!. по свежей голове с утра подумал,..

и мастерски закончил троллинг, поняв, что разоблачен. Тролль-виртуоз! Как сказал бы Таманцев,"мысленно я ему аплодировал"...