Жорданов базис, канонический базис.

[PWT]

Здравствуйте! Есть вопросы по идейному пониманию задачи.
Пусть в линейном пространстве $V=\mathbb{R}^4$ действует линейный оператор $\mathcal{A}:\mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^4$.

Матрица $A$ линейного оператора в некотором базисе известна. Найти жорданову форму матрицы данного линейного оператора. Найти канонический базис. Записать матрицу перехода от исходного базиса к каноническому.

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$

1) Находим собственные векторы. Это я умею делать, потому вбил в вольфрам, получилось три собственных вектора.

(Оффтоп)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvalues+%7B%7B1,2,3,4%7D,%7B0,1,2,3%7D,%7B0,0,1,2%7D,%7B0,0,0,1%7D%7D

2) Находим присоединенный вектор (он должен быть один). Присоединенный вектор и собственные вектора в совокупности образуют жорданов базис.

(Оффтоп)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=jordan+form+%7B%7B1,2,3,4%7D,%7B0,1,2,3%7D,%7B0,0,1,2%7D,%7B0,0,0,1%7D%7D

3) Из столбцов жорданова базиса составляем матрицу, которая будет являться матрицей перехода к жордановой форме матрицы. Составляем жорданову форму матрицы (это я умею делать).
Но отсюда сразу вопрос. Ясно, что жордановы клетки можно расставить в произвольном порядке. Но от этого будет зависеть расположение столбцов в матрице перехода. Но как понять -- как именно необходимо расставить столбцы (в каком порядке)?
Канонический базис и жорданов базис -- это одно и тоже?

[PWT]

Может я какой-то бред написал?)

[Lia]

PWT
Замечание за подъем темы.

[Slav-27]

PWT в сообщении #1147444 писал(а):

Ясно, что жордановы клетки можно расставить в произвольном порядке... Но как понять -- как именно необходимо расставить столбцы (в каком порядке)?

Спросите это у того, кто вас убедил, что вам необходимо расставлять столбцы.

Обычно достаточно расставить так, чтобы жордановы клетки были действительно клетками, а зачем вам нужен какой-то однозначный способ -- я не знаю.

[PWT]

Сейчас точнее напишу, что имею ввиду. Конкретно в этой задаче получается, что жорданова клетка одна, потому, вроде как нет разницы -- как расставлять стобцы. Но если у нас жордановы клетки получатся такие:

$J_1=\begin{pmatrix} 1& 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$, $J_2=(1)$, $J_3=(1)$.

Тогда жорданова форма может иметь вид:


$J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ или $J=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$ или $J=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

Пусть Жорданов базис состоит из векторов $\left\langle v_1,v_2,v_3,v_4\right\rangle$.

Как узнать как именно в матрице перехода к жордановой форме расставить столбцы из жорданового базиса? Может независимо от порядка столбцов будет выполняться $A=S^{-1}JS^{-1}$?

[Slav-27]

А, теперь понял.

Нет конечно.

Вы нашли жорданов базис -- 4 вектора. Надо зафиксировать желаемую жорданову форму, например

PWT в сообщении #1147747 писал(а):

$J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

-- и упорядочить векторы жорданова базиса соответственно ей. А именно, если форму выбрали вот такую, то будет, очевидно, $A v_1=v_1, A v_2 = v_1+v_2, A v_3=v_3, A v_4=v_4$ (здесь у меня $A$ обозначает рассматриваемый оператор, а не матрицу). Это следует из представления этого равенства в жорданове базисе.

Поэтому 1-й столбец матрицы перехода -- с. в., которому соответствует 2-мерная ж. кл., 2-й -- присоединённый к нему, 3-й и 4-й -- собственные векторы c 1-мерной ж. кл, в любом порядке.

[PWT]

Спасибо, но не очень понял -- что значит $A$ -- рассматриваемый оператор? Это тот, что был в исходной задачей, для матрицы которого ищем жорданову форму? Но ведь тогда если применить оператор к вектору -- это значит этот вектор умножать на матрицу этого оператора. Или я что-то неверно понял?

[Slav-27]

Если в векторном пространстве выбрать базис, то любой вектор по нему разложится, то есть будет представлен столбцом чисел. А линейный оператор будет представлен квадратною матрицей. Если изменить базис, то координатные столбцы этих векторов изменятся, и матрица оператора тоже изменится.

В вашей задаче встречаются исходный базис и жорданов базис. В жордановом базисе $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ матрица оператора имеет жорданову форму, а координатные столбцы векторов $v_1, v_2, v_3, v_4$ угадайте какие. А ищете вы координаты этих векторов $v_1, v_2, v_3, v_4$ в исходном базисе.

-- 30.08.2016, 16:09 --

Понятнее стало?

[PWT]

Ну примерно понятно, но только вот какие координатные столбцы векторов жорданового базиса в этом самом жордановом базисе -- пока что не очевидно.

[Slav-27]

PWT
Ну это уже что-то чересчур. Раскладывайте их по базису. Вы умеете раскладывать по базису?..