Приближение формальных систем формальными системами

[Борис Лейкин]

Ерунда такая вот.
Ну, пытаются физики, значит, создать Теорию Всего, эта Теория Всего должна описывать все явления, существующие в природе, теория - это просто формальная система (ФС): набор аксиом и правил вывода. Существующие в настоящее время теории (ОТО, КТП) - это тоже теории - формальные системы - они являются приближениями этой ФС Теории всего. Что значит приближениями, я не знаю. Вопрос: существует ли математическая формализация этого процесса приближения одних формальных систем другими? Ну, значит, в физике эта теория, которую приближают, не известна, что, если пойти наоборот, взять какую-нибудь простую полностью известную теорию и понять, какие теории могли бы быть её приближениями.
Есть что-нибудь подобное, может где-нибудь в математической логике?

[Борис Лейкин]

"Приближение" это в физике, значит, называется "принцип соответствия Бора".
Берём специальную теорию относительности делаем параметр скорость света бесконечным и получаем классическую ньютоновскую физику, то же самое с квантовой механикой - делаем постянную Планка нулём.

Что значит формальная система описывает физическую реальность? (Ну, типа, у нас есть формальная система, как узнать описывает она какую-нибудь физику или нет) Что-то там с действием что ли звязано?

http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophy_of_mathematics#Platonism
"The major problem of mathematical platonism is this: precisely where and how do the mathematical entities exist, and how do we know about them? Is there a world, completely separate from our physical one, which is occupied by the mathematical entities? How can we gain access to this separate world and discover truths about the entities? One answer might be Ultimate ensemble, which is a theory that postulates all structures that exist mathematically also exist phyiscally in their own universe."
http://en.wikipedia.org/wiki/Ultimate_ensemble
"The Ultimate Ensemble is a speculative theory of everything (TOE), suggested by Max Tegmark. Related to the Anthropic principle and Multiverse theories, the Ultimate Ensemble suggests that not only should worlds corresponding to different sets of initial conditions or different physical constants be considered real, but also worlds ruled by altogether different equations. The only postulate in this theory is that all structures that exist mathematically exist also physically."

Что значит "всё, что существует математически, существует также и физически в своей собственной вселенной"? Возьмём, например, вселенную евклидовой геометрии, и в ней живут существа (если они могут там жить), которые пытаются понять законы этой вселенной, у них есть только приближённые теории к их Теории Всего - евклидовой геометрии, что это могут быть за приближённые теории.

Добавлено спустя 45 минут 56 секунд:

Продолжаю сходить с ума один.

В гугле нашёл:
http://www.mccme.ru/ium/f06/tropic.html
Г.Л.Литвинов
Деквантование Маслова и тропическая математика
Тропическая математика получается из традиционной математики над числовыми полями в результате процедуры деквантования Маслова. Это деквантование возникает из обычного деквантования Шрёдингера, если постоянная Планка стремится к нулю, принимая чисто мнимые значения. Результатом деквантования поля комплексных чисел (равно как и поля действительных чисел) является алгебра макс-плюс, состоящая из всех действительных чисел и символа -\∞ сложение ⊕ в этой алгебре определяется формулой x⊕y=max(x,y), а умножение $\odot$ совпадает с обычным сложением. Алгебра макс-плюс является полуполем с нейтральными элементами -∞ и 0. Сложение идемпотентно, т.е. x⊕x=x для всех x. Алгебру макс-плюс часто называют тропической алгеброй (или тропическим полуполем); произвольные полукольца с идемпотентным сложением также часто называют тропическими. Тропическая математика — это математика над тропическими алгебрами, которые играют роль полей.
Основная парадигма новой теории — (идемпотентный) принцип соответствия, тесно связанный с принципом соответствия Н.Бора в квантовой теории: имеется эвристическое соответствие между важными, интересными и полезными конструкциями и результатами традиционной математики над полями и аналогичными конструкциями и результатами над тропическими алгебрами (т.е. полуполями и полукольцами с идемпотентным сложением). Систематическое и последовательное применение идемпотентного принципа соответствия приводит к многообразным новым (и часто неожиданным) результатам.
Например, основное уравнение классической механики, т.е. уравнение Гамильтона--Якоби, является тропической версией уравнения Шрёдингера; из линейности уравнения Шрёдингера над полем комплексных чисел следует, что уравнение Гамильтона--Якоби линейно в тропической математике. Вариационные принципы механики являются тропической версией известного подхода Р.Фейнмана (интегрирование по пространству траекторий) к квантовой механике. Преобразование Лежандра (связь между лагранжевой и гамильтоновой формулировками механики) совпадает с тропическим преобразованием Фурье и т.д. В результате возникает "тень" традиционной математики, т.е. тропическая математика. Связь между этими теориями аналогична связи между квантовой и классической физикой.
Тропическая математика имеет много важных приложений, в том числе в рамках традиционной математики. В частности, начиная с доклада О.Виро на Европейском математическом конгрессе в Барселоне (2000 г.), опубликованы сотни работ по тропической геометрии с приложениями в традиционной алгебраической геометрии.
Курс будет интересен математикам и физикам (начиная со студентов второго-третьего курсов).


Надо же, тро-пи-чес-ка-я математика, кто бы мог подумать.

[Котофеич]

С деквантованием Маслова, не все так просто как думают. Масловские разложения
являются истинными асимптотиками, только в простейших случаях. При стремлении h к 0
обычно нет возврата к классике.
Tropical Mathematics
http://arxiv.org/abs/math.CO/0408099
The Maslov dequantization, idempotent and tropical mathematics: A brief introduction
http://arxiv.org/abs/math/0507014

[Борис Лейкин]

А чё это за деквантование то, а? Можно что ли и классическую механику деквантовать, и чего получится?

Добавлено спустя 1 час 2 минуты 45 секунд:

Борис Лейкин писал(а):

Возьмём, например, вселенную евклидовой геометрии, и в ней живут существа (если они могут там жить), которые пытаются понять законы этой вселенной, у них есть только приближённые теории к их Теории Всего - евклидовой геометрии, что это могут быть за приближённые теории.

А ещё интересно, какие у них там в ихней вселенной будут компьютеры?

[Котофеич]

Борис Лейкин писал(а):

:lol:
А чё это за деквантование то, а?

http://arxiv.org/abs/math/0507014

[Otez-osnovatel]

Борис Лейкин писал(а):

:oops:
Ерунда такая вот.
////////////////////////////////
==============================
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
++++++++++++++++++++++++++++++
////////////////
...................................

Раз ерунда, чего ею заниматься?
Сказано же - нельзя доказать и нельзя опровергнуть формальную теорию её же формальной логикой. Так нет же - одни доказывают, другие опровергают...
Динаму-машину то кто вертеть будет?

[Борис Лейкин]

"Приближение" это деформацией что ли называется.
arxiv.org/abs/math.QA/9904055

Цитата:

The idea is that algebras of observables in quantum mechanics are "close to" commutative
algebras of functions on manifolds (phase spaces). In other words, quantum algebras
of observables are deformations of commutative algebras.

[Борис Лейкин]

Вот, зырьте, чего нашёл. На сайте сэра Майкла Берри
www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/research.html

Цитата:

6. Asymptotics and relations between theories. Less general theories in physics are limits of more general ones, but the limits are usually singular [260, 341]. An example is classicalization through decoherence, where tiny uncontrolled external influences suppress the quantum suppression of classical chaos [337]. Refined studies of these singular limits must involve divergent series, Stokes phenomenon [181, 190, 201], and (work with Christopher Howls) resurgence and hyperasymptotics [208, 223, 244, 249, 261]. Surprisingly, the exponentially small contributions whose appearance and disappearance is governed by the Stokes phenomenon [181] can sometimes dominate [370]. Another universal asymptotic phenomenon is oscillations generated by infinitely repeated differentiation [377]. Asymptotics is a unifying idea: the same mathematics that governs rainbows also describes tsunamis [376]. These studies are part of humanity's long struggle to get to grips with infinity [241].

Короче "Эти исследования - часть долгой борьбы человечества в схватке с бесконечностью"! А вы - бред

plato.stanford.edu/entries/physics-interrelate/
Вот в чём ещё прикол то, что "пределы более общих теорий в менее общие обычно сингулярны"
Объяснение: Едите вы, например, яблоко, откусили и заметили внутри червяка. Чем меньше от червяка осталось, тем, казалось бы, в пределе ситуация для вас должна быть неприятнее.
341 Berry, M V, 2002 ‘Singular Limits' Physics Today May pp 10-11.

[berezuev]

Цитата:

Вопрос: существует ли математическая формализация этого процесса приближения одних формальных систем другими?

Не существует и, главное, не может существовать. Потому что не существует того к чему эти приближения стремятся, т.е. теории всего.

Т.е. репортаж инопланетянина мог бы выглядеть так.
Теории человеков становились все сложнее и сложнее, человеки думали что все эти сложные теории к чему-то приближаются. Главный аргумент человеков состоял в том, что новые теории объясняли что-то новое, чего старые теории пояснить не могли. Но проблема состояла в том, что человеки не видели себя со стороны. А со стороны было ясно, что мозги у человеков были ограничены и по мере усложнения теорий мозги уже были не в состоянии контролировать соответствие теорий реальности. На первом этапе это стало выражаться в невозможности для человеков создать теорию реальности независимую от способностей человеков к ее применению и конкретных действий человека по установлению соответствия между теорией и реальностью. Это был отход от материализма к идеализму. Ну а в пределе должны быть логические катастрофы в теориях человеков (чем-то похожих на логические катастрофы в Квантовой механике). Далее начнут появляться теории частично отражающие реальностть, т.е. одна часть отражает реальность, а другая нет (фракталы с проблемой бесконечного самоподобия, чего в реальности никогда не случается). Несколько теорий начнут конкурировать за право наиболее правильного отражения реальности. Не знаю как в физике, а в математике это напоминает споры вокруг оснований и, вообще, Теоремы Геделя. А также другие прикольные моменты, как, например, способности противоречивой теории более точно отражать реальность, чем непротиворечивая теория.

А все дело в том что человеки не способны объективно отнестись к ограниченому ресурсу своих мозгов. Это печально.

[Pointer]

2 Борис Лейкин.

Цитата:

Что значит приближениями, я не знаю.

Предположу, что приближением теории-1 является теория-2, результаты применения которой как минимум частично совпадают с результатами применения теории-1.
Пояснение раз: результат применения теории это, например, соответствие свойств реального объекта и свойств его модели, построенной на основании теории.
Пояснение два: "частичность" совпадения подразумевает либо неполноту описания объекта (качество или количество "выходных" параметров, параметров результирующей модели), либо меньшую область применения (ограничения, накладываемые на "входные" параметры теории).
Т.е. теорию можно представить, как "чёрный ящик" с алгоритмом, имитирующим реакцию объекта на воздействие.

Цитата:

...взять какую-нибудь простую полностью известную теорию и понять, какие теории могли бы быть её приближениями.

И здесь логичнее было бы говорить не о приближении одной теории другой, а о приближении теории к описываемому ей объекту.
При таком подходе, напрашиваются два вывода:
Первый: "Теории всего" быть не может, поскольку нет такого воздействия, которое являлось бы внешним по отношению ко "всему".
Второй: Идеально полной теорией является сам объект.
Здесь, пожалуй, уместно поянить:
Теория является некоторым материальным объектом. (Объект сей иногда удобно представить, как систему, например такую: [бумажка с буковками] + [читатель бумажки], но это не принципиально.) А в концепции приближения свойств одного объекта к другому нет, на мой взгляд, ничего парадоксального. Так же, как и в том, что в рамках одной Реальности нельзя без произвола определить два разных, но идентичных по свойствам, объекта - хотя бы потому, что "свойство объекта" это, по большому счёту, то же самое, что "свойство континуума", а континуум у нас - один и един.

Цитата:

Вопрос: существует ли математическая формализация этого процесса приближения одних формальных систем другими?

Нет.
"Математической формализации" чего бы то ни было не существует. Так же, как не существует "физической", "социалистической", "гуманистической" или "нефтеналивной" формализаций.
А если нужна просто формализация, то один из вариантов см. выше .

[berezuev]

Цитата:

(Объект сей иногда удобно представить, как систему, например такую: [бумажка с буковками] + [читатель бумажки], но это не принципиально.)

[физический объект] + [бумажка с буковками] + [читатель бумажки]

Правильней, ведь зависимость результатов измерения (а значит и текста на бумажке) уже никого не удивляет. Выш вариант всего лишь частный случай.

[Pointer]

2 berezuev.
Можно сказать, что есть только один физический объект - Реальность. Любой другой физический объект определяется совершенно произвольно, поэтому поправка не принципиальна.
Но, тем не менее, она навеяла ещё кой-какие соображения:
1) Любая теория идеально описывает саму себя.
2) Приближением теории можно считать объект, являющийся метатеорией по отношению к ней. Другими словами, теория-2 является приближением теории-1, если описывает теорию-1.

Осталось придумать - что с этим делать. И надо ли.

[berezuev]

Цитата:

Можно сказать, что есть только один физический объект - Реальность.

С этим могут возникнуть проблемы. Реальность зависит от того кто и как ее наблюдает. Значит отношения теорий и метатеорий не включают не только реальность, а способ ее измерения и варианты этой самой реальности. Так что про простое отношения теории или метатеории, даже включающей в некотором виде наблюдателя и его действия, к реальности можно забыть.

[Eiktyrnir]

Борис Лейкин писал(а):

...

Думаю, что тему тему начатую Борисом Лейкиным стоит продолжить.

berezuev писал(а):

С этим могут возникнуть проблемы. Реальность зависит от того кто и как ее наблюдает. Значит отношения теорий и метатеорий не включают не только реальность, а способ ее измерения и варианты этой самой реальности. Так что про простое отношения теории или метатеории, даже включающей в некотором виде наблюдателя и его действия, к реальности можно забыть.

Убежден, что вы не совсем правы, когда говорите, что "Реальность зависит от того кто и как ее наблюдает". Как раз именно наоборот - реальность всегда одна и она не зависит от наблюдателя . Суть всегда одна и таже, а вот явление (точнее то, что получается в процессе наблюдения) зависит от условий наблюдения (фактически от конкретного наблюдателя и зависит). Вообще говоря это вопрос гносеологического анализа. В подтверждении своих слов могу привести примеры.
Теперь к слову о единой теории всего (наверное все-таки можно подразумевать единую теорию взаимодействий или как ее называют единую теорию поля). Очевидно, что эта теория всего будет включать в себя все известные существующие взаимодействия в природе (электромагнитное, сильное, слабое и гравитационное) и, очевидно, что все эти известные взаимодействия будут (с позиций теории всего) лишь различными проявлениями более фундаментального взаимодействия (единого например), т.е. будут являться по отношению к единой теории всего "дифференциальными эффектами" (более "низкого порядка") проявляющимися при тех или иных физических условиях.