Вопрос про массу в решении Толмена(ОТО).

[Erleker]

Вопрос, вообще, касаемо 103 параграфа в ЛЛ-2.
Но предварительно:
В параграфе 100 они вывели метрику Шварцшильда, как решение для пустого пространства:
$ds^2=(1-r_{g}/r)c^2dt^2-dr^2/(1-r_{g}/r)-r^2(d\theta^2+\sin^2(\theta)d\alpha^2)$
На основании Ньютоновского приближения пришли к выводу, что константа $r_g$ должна быть отождествлена с гравитационной массой как $r_{g}=2GM/c^2$.
Из соображений, так сказать, "гладкости" из уравнений Эйнштейна вывели формулу для $M$ через тензор энергии-импульса как:
$M=\dfrac{4\pi}{c^2}\int\limits_{0}^{a}T_{0}^0r^2dr$ (1)
(След тензора энергии-импульса для пыли без давления, как известно: $T_{i}^i=pu^iu_{i}$ , причем $p$-плотность скалярной массы $m$ по физическому объему в СО вещества.)
Если рассмотреть статическое состояние вещества(при этом, естественно, $r=\operatorname{const}$ должны быть всюду времениподобны, то есть без коллапса), то понятно, что гравитационная масса будет будет меньше, чем масса $m=\int\limits_{}^{}pdV=\dfrac{1}{c^2}\int\ T_{0}^0dV$.
Вроде бы все тут ясно, но совершенно не ясно, как эти соображения относятся к решению Толмена в параграфе 103.(ссылка на параграф http://alexandr4784.narod.ru/l02/l2_gl12_103.pdf)
Как я понимаю, они же решают уравнения Эйнштейна в этих же сопутствующих координатах $\tau$, $R$ и соответственно тензор энергии импульса у них тоже $T'^i_{i}=T'^0_{0}=pc^2$ определен в этих же координатах.
Но тогда на каком основании они применяют формулу (1) (в 100 это (100,24)) (и там в их обозначениях $m$- $M$ и $\varepsilon$ - $p$), чтобы найти полную(гравитационную) массу всего шара, использую при этом $T'^0_{0}$ в тех же координатах, а не переходя к жестким "Шварцшильдовским" (для которых формула (100,24) и была получена)?
Ведь надо же интегрировать по $T^0_{0}=pc^2u^0u_{0}=pc^2/(1-v^2/c^2)$ для жестких координат.(А если еще присутствует $T$-область, то тогда все еще посложнее, ведь нулевая компонента не времениподобна).Разве не так?
Объясните пожалуйста.
И посоветуйте еще пожалуйста какую-нибудь литературу, где бы подробно описывался вывод метрики Толмена.

[Munin]

Так. Для начала, пыль без давления не может быть стационарна. Она попросту будет падать сама на себя - коллапсировать. В частности, внутри однородного пылевого шара будет метрика Фридмана-Леметра, если вы понимаете, что это такое. (Новиков, Фролов. Физика чёрных дыр. Где-то начало книги.)

Если рассматривать "звезду", то пыль надо стабилизировать положительным давлением, а оно даст вклад к следу ТЭИ.

[Erleker]

Я понимаю.НФ я тоже читал, но мне нужно понять именно вывод(а там метрика в готовом виде) и понять формулу для массы.
Про статическое состояние речи нет, в том и дело.
Вопрос еще раз вот в чем:
Есть координаты для сопутствующих частиц коллапсирующей пыли.Свертка ТЭИ в этих координатах равна свертке по нулям и равна плотности.
Но в жестких координатах, с учетом скоростей пыли по $t$, свертка по нулям ДРУГАЯ.
И ведь применять формулу (100,23) нужно именно для ТЭИ в жестких координатах.
Почему в ЛЛ в 103 применяют эту формулу для ТЭИ в сопутствующих координатах?

[Munin]

Erleker в сообщении #1147318 писал(а):

свертка по нулям ДРУГАЯ.

Ну ещё бы. Она ведь неинвариантна.

[Erleker]

Ну да.Так почему тогда они в 103 применяют ту формулу для полной массы для ТЭИ из сопутствующих координат?

Нужно же интегрировать не по $T_{0}^0/c^2=\varepsilon$ из этих координат $R, \tau$, а по
$\varepsilon u^0u_{0}$ для жестких координат $r,t$.

[Erleker]

И ведь вместо $r'=\frac{\partial r(R,\tau)}{\partial R}$ мне кажется должно быть же $\frac{\partial r(R,t)}{\partial R}$.
Я все-таки запутался.Может можно еще из метрических соображений получить границу $r_g$, чтобы получить массу?