Шпаргалка

[ishhan]

Уважаемые Господа!
Каждому из Вас знакома школьная шпаргалка - плоская лента(прямоугольник), сложенная в виде гармошки, наверное каждый из Вас ею пользовался))).
Предположим, что на этой ленте 12 секций с одной стороны и столько же с другой стороны ленты, на которых даны ответы на типовые вопросы из экзаменационных билетов, всего 24 вопроса.
Сколькими способами можно сложить эту шпаргалку до одной секции.
Какие последовательности из 24 чисел от 1 до 24, которыми занумерованы секции, будут возможны и можно ли решить задачу в общем случае?

[arseniiv]

Думаю, стоит начинать с малого числа секций, все случаи нарисовав. Также можно не называть «обратные» секции отдельными числами, а вместо этого указывать ориентацию бумаги. Например, сложенная гармошкой шпаргалка будет иметь код $1\bar23\bar4\ldots$, где диакритика показывает противоположность ориентации, и заодно можно решить, считать ли $\bar12\bar34\ldots$ тем же (по крайней мере, $\ldots4\bar32\bar1$ — точно то же, это перевёрнутая как целое такая гармошка).

-- Пт авг 26, 2016 21:30:15 --

Можно представить, что на каждой секции нарисована стрелка, притом все стрелки показывают в одну и ту же сторону. Тогда можно добавлять по секции к уже имеющейся конфигурации к тому месту, где стрелки заканчиваются. Это можно будет сделать в общем случае несколькими случаями, по-разному загибая секцию по отношению к текущему концу и уже имеющимся складкам, которые по коду должно быть не очень сложно восстановить. Возможно, перечисление всех конфигураций предыдущего поколения не удастся как-то упростить, не знаю. Даже если конец ушёл под слой-другой бумаги, он в будущем сможет сбежать на свободу, так что эти слои нельзя будет игнорировать.

[ishhan]

arseniiv в сообщении #1146809 писал(а):

Также можно не называть «обратные» секции отдельными числами, а вместо этого указывать ориентацию бумаги.

С ориентацией идея хорошая.
А если задать правило, по которому невозможно совместить например: секцию 3 и секцию 1, так как пополам согнётся секция 2, с другой стороны секцию 1 можно совместить с обратной стороной секции 3.
Далее, следуя этому правилу, посчитать число невозможных вариантов, а потом исключить из всех вариантов перестановок.

[Yadryara]

ishhan, A000136 смотрели?

[ishhan]

Yadryara, спасибо за ссылку. Задачка непростая, но ставится легко. Сначала была задача про простынь, которую нужно сложить до 1/8, но кажется она пока не решена.

[arseniiv]

Yadryara в сообщении #1147006 писал(а):

A000136 смотрели?

Судя по описанию и тому, что я сегодня насчитал (члены с 1 по 6), это однозначно то самое. (Надо будет сообразить, как комбинаторно она связана с упоминающейся дальше A000682.) В принципе, генерировать должно быть несложно — сначала определяем в строке чисел из предыдущей итерации сгибы в противоположную сторону тому, который был при добавлении последней секции, а потом на основе них определяем потенциальные места вставки следующей секции. Два правила: если последняя секция лежит внутри такого сгиба, вставить новую вне его нельзя; если сгиб не включает её, нельзя вставлять новую секцию внутри него. Описание дурацкое, но (1) правила выводятся легко и с нуля, (2) а мне пока лень набирать красивые штуки, которые получились на бумаге.

ishhan в сообщении #1147055 писал(а):

Сначала была задача про простынь, которую нужно сложить до 1/8

Кажется, там могут попадаться весьма нетривиальные сгибы с засовыванием какой-то части в карман, образованный другими. Это точно на откуп оригами (его теорией ещё как занимаются).

[ishhan]

Нашел публикацию http://www.robertdickau.com/stampfolding.html. где описаны варианты, как сложить плоскую ленту из почтовых марок и даже карту. Задачу, оказывается уже давно решают за бугром)
Интересно, а если марки склеить в поверхность Римана. Сделал макет ленты Римана на 6 штук секций.
Складывается и так и эдак, главное что бы домашние не заподозрили чего-нибудь )))
P.S. А может быть ничего и не изменится по сравнению с плоским случаем ленты?