Начала анализа

[arqady]

Найдите наибольшее значение функции $f$ на $[-6,4]$, где

$$f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{x+6}+\sqrt{x+13}+\sqrt{x+22}+\sqrt{x+33}+\sqrt{x+397}$$

(Ответ, прикол)

Ответ: $39$. Имеется решение в одну строчку.

[svv]

(Оффтоп)

$f(t+3)=\sqrt{1^2-t}+\sqrt{t+3^2}+\sqrt{t+4^2}+\sqrt{t+5^2}+\sqrt{t+6^2}+\sqrt{t+20^2}$

$\frac 1 3+\frac 1 4+\frac 1 5+\frac 1 6+\frac 1{20}=1$

[arqady]

(Оффтоп)

В самый корень смотрите! Осталось это как-то использовать.

[svv]

(Оффтоп)

Ну, и из написанного следует, что $g'(0)=0$, где $g(t)=f(t+3)$.
$g'(t)$ на левом конце интервала $(-9,1)$ стремится к $+\infty$ из-за слагаемого $\frac 1{2\sqrt{t+9}}$, а на правом конце к $-\infty$ из-за слагаемого $-\frac 1{2\sqrt{1-t}}$. В выражении для $g'(t)$ все шесть слагаемых — строго убывающие функции $t$. Значит, $g'(t)=0$ в единственной точке $t=0$, и это точка глобального максимума.