Достаточное условие непрерывной дифференцируемости

[lulusa]

Не могу доказать, достаточно ли существование производной в каждой точке, чтобы скалярная функция функция скалярного аргумента была непрерывно-дифференциремой? Что-то вообще нет идей.

[Mikhail_K]

Попробуйте построить функцию $f$, такую что $f^\prime(0)=0$, но по мере приближения к точке $x=0$ функция очень сильно колеблется, так что $\lim\limits_{x\to 0}f^\prime(x)$ не существует.

[lulusa]

Mikhail_K в сообщении #1146553 писал(а):

Попробуйте построить функцию $f$, такую что $f^\prime(0)=0$, но по мере приближения к точке $x=0$ функция очень сильно колеблется, так что $\lim\limits_{x\to 0}f^\prime(x)$ не существует.

Ну да, в этом собственно и проблема. Да еще нужно, чтобы она была непрерывна

[Mikhail_K]

lulusa в сообщении #1146568 писал(а):

Ну да, в этом собственно и проблема.

Подумайте, построить такую функцию не так уж сложно.

[mihaild]

lulusa, попробуйте для начала найти ограниченную дифференцируемую на $(0; 1)$ функцию с неограниченной производной.

[RIP]

Не думаю, что без достаточного опыта в подобных вещах придумать пример самому так уж просто.

lulusa
Стандартный пример сильно колеблющейся функции: $f(x)=x\sin(1/x)$ ($f(0)=0$ для непрерывности). Эта функция не удовлетворяет условию. Подумайте, как её поправить.