Силовские подгруппы. Задача.

[Duelist]

Здадача из Винберга: доказать, что в группе порядка $p^n$ всякая подгруппа $H$ порядка $p^k$, $k < n$ имеет неподвижные точки в $G/H$, отличные от $eH$. Вывести отсюда, что $N(H) \neq H$ и что $H$ содержится в некоторой подгруппе порядка $p^{k+1}$.

Пусть $H$ действует на $G/H$. Тогда $|G/H|=p^{n-k}=1+\sum |H|/|H_{xH}|$, где $H_{xH}$ - нормализатор $xH$ (формула классов). Из тождества видно, что $\exists x \in G \setminus H$ такой, что $H_{xH} = H$. Отсюда следует, что $H \subset xHx^{-1}$. Сравнение порядков даёт $H=xHx^{-1}$. Тогда $x \in N(H)$ и $N(H) \neq H$. Ясно, что $H \subset N(H)$ и что порядок $N(H)$ будет $p^{k+s}$.

Дальше я пытался прдумать подгруппу $M$ нормализатора $N(H)$ порядка $p$, имеющую тривиальное пересечение с $H$. Я бы тогда знал, как доказать, что $MH$ - искомая подгруппа порядка $p^{k+1}$. Например, подгруппа нормализатора порядка $p$ будет в $\langle x \rangle$ ($x$ - образующая). Но до конца довести не получается.

[AV_77]

$H$ является нормальной подгруппой в нормализаторе $N(H)$. Осталось в факторгруппе $N(H) / H$ выбрать подходящий элемент.

[Duelist]

Понял: прообраз из подгруппы порядка $p$ факторгруппы. Такая подгруппа будет в любой циклической подгруппе с образующей, отличной от $H$. Спасибо.