Доказать выпуклость образа

[2serg2]

Добрый день,
в книге A Course in Convexity(A.Barvinok) встретилась следующая задача:
$v_1,..., v_m \in \mathbb{R}^d, \ \rho_1,...,\rho_m \in \mathbb{R}^+$
$H:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d \ H(x) = \frac{1}{f(x)}\sum\limits_{i=1}^m \rho_i \exp\{(x \cdot v_i)\}v_i, \ f(x) =\sum\limits_{i=1}^m \rho_i \exp\{(x \cdot v_i)\} $

Один из пунктов:
показать, что образ $\operatorname{Im} (\mathbb{R}^d)$ - выпуклое множество.

Совсем напрямую показать этого не получилось. Есть идея, что нужно рассмотреть $H(x_1), H(x_2)$ и точку $\xi = \alpha H(x_1) + (1-\alpha) H(x_2), \alpha \in (0;1)$. Зная представления $H(x_1), H(x_2)$ через $ v_1,...,v_m$, мы знаем и представление $\xi$. C другой стороны, нужно показать, что $\xi = H(z) = \frac{1}{f(z)}\sum\limits_{i=1}^m \rho_i \exp\{(z \cdot v_i)\}v_i, z \in \mathbb{R}^d$. Хотелось бы приравнять коэффициенты при одинаковых векторах (вообще говоря, это не верно) и подобрать соответствующий $z$. Но что-то ничего не выходит, нужна помощь

Спасибо

[alcoholist]

2serg2 в сообщении #1145577 писал(а):

вообще говоря, это не верно

не необходимо, но достаточно

[2serg2]

alcoholist в сообщении #1145689 писал(а):

2serg2 в сообщении #1145577 писал(а):

вообще говоря, это не верно

не необходимо, но достаточно

Это вы имеете ввиду, что задача решается таким способом или просто стилистическое исправление?

[adfg]

2serg2,
Мне представляется, вышеописанное множество является просто выпуклой оболочкой, натянутой на систему векторов $v_1,...,v_m$
Точнее говоря, является ее внутренностью

[2serg2]

adfg в сообщении #1145767 писал(а):

2serg2,
Мне представляется, вышеописанное множество является просто выпуклой оболочкой, натянутой на систему векторов $v_1,...,v_m$
Точнее говоря, является ее внутренностью

Так и есть, но я не могу строго показать этого.

[adfg]

2serg2,
Это довольно очевидно к примеру для случая системы линейно независимых векторов $v_1,...,v_m$, поскольку в этом случае система линейных уравнений $\{(x\cdot v_i)=\alpha_i\}$ однозначно разрешима для любой числовой последовательности $\alpha_1,...,\alpha_m$, что в свою очередь влечет за собой достижимость любых коэффициентов искомой выпуклой комбинации, то есть внутренность выпуклой оболочки полностью заметается