Равномерная сходимость

[RabbitXO]

Добрый день.
Наткнулся на следующее утверждение. Пусть $f_n\in C[a,b]$, $\{c_n\}\in l_2(\mathbb{N})$, и $\sup\limits_{[a,b]}\sum\limits_{k=1}^\infty |f_k(x)|^2<+\infty$. Тогда $\sum\limits_{k=1}^\infty c_k f_k(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$.

Мне показалось, что странно всё это. Из неравенства Коши-Буняковского видно, что указанный выше ряд сходится по точечно. А вот равномерной сходимости я не вижу, сразу.

Если воспользоваться более сильным условием: $\sum\limits_{k=1}^\infty |f_k(x)|^2$ сходится равномерно на $[a,b]$ , то...
Пусть $\varepsilon>0$ и $C=\left(\sum\limits_{k=1}^\infty |c_k|^2\right)^{(1/2)}$. Так как $\sum\limits_{k=1}^\infty |f_k(x)|^2$ сходится равномерно на $[a,b]$, то для $(\varepsilon/C)^2$ найдется такое $n_0\in\mathbb{N}$, что для $\forall m>n_0 $ и $\forall p\in\mathbb{N}$ справедливо неравенство $\sum\limits_{k=m}^{m+p} |f_k(x)|^2<(\varepsilon/C)^2$, $\forall x\in[a,b]$. Из неравенства

$$ \left|\sum\limits_{k=m}^{m+p} c_k f_k(x)\right|\leqslant\left(\sum\limits_{k=m}^{m+p} |c_k|^2\right)^\frac12 \left(\sum\limits_{k=m}^{m+p} |f_k(x)|^2\right)^\frac12\leqslant C \left(\sum\limits_{k=m}^{m+p} |f_k(x)|^2\right)^\frac12\leqslant C\frac{\varepsilon}{C}=\varepsilon,\ \forall x\in[a,b]. $$

Получаем, что $\sum\limits_{k=1}^\infty c_k f_k(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$.

У меня такое чувство, что я совершил ошибку. И в утверждении, требуется только ограниченность.

[Otta]

А в критерии Коши (исходя из условий задачи) оценки никак не переставить, да?

[RabbitXO]

Точно! Два часа сидел... Заклинило.

Большое спасибо, Otta!

[Otta]

(Оффтоп)

Правда, для меня так и осталось загадкой, зачем там непрерывность...

[RabbitXO]

(Оффтоп)

Утверждение(момент) вырвано из доказательства другого утверждения. По инерции переписал. Теперь всё доказательство прозрачно.

[Otta]

(Оффтоп)

А, понятно. Ну хорошо.