Найти общее действительное решение уравнения

[Gdasar]

Здравствуйте.
Есть уравнение:
$y''+4y'+3y=e^{-x}$

Моё решение:
$y''+4y'+3y=0$
$\lambda^2+4\lambda+3=0$
$\lambda_1=-1$
$\lambda_2=-3$
Ответ:
$y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-3x}$

Это верное решение?

[Someone]

Да, это верное решение однородного уравнения.

[Gdasar]

Someone
То есть это все решение, для данного задания?

[Someone]

Я же написал: решение однородного уравнения. Которое с нулём в правой части. А у заданного Вам в правой части стоит $e^{-x}$. Поэтому ваша работа не закончена.

[Gdasar]

$ \begin{cases} C_1^{'}e^{-x}+C_2^{'}e^{-3x}=0\\ -C_1^{'}e^{-x}-3C_2^{'}e^{-3x}=e^{-x} \end{cases}$

$ \begin{cases} C_1^{'}+C_2^{'}e^{-2x}=0\\ -C_1^{'}-3C_2^{'}e^{-2x}=1 \end{cases}$

$C_1^{'}=-C_2^{'}e^{-2x}$

Получаем, что

$C_2^{'}=-\frac{1}{2}e^{2x}$

$C_2=-\frac{1}{4}e^{2x}$

Следовательно

$C_1^{'}=\frac{1}{2}$

$C_1=\frac{1}{2}x$

Частное решение

$y=\frac{1}{4}e^{-x}(\frac{1}{4}x-1)$

Окончательное решение:

$y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-3x}+\frac{1}{4}e^{-x}(\frac{1}{4}x-1)$

Что скажите по поводу этого решения? Теперь задача решена полностью?

[arseniiv]

Gdasar в сообщении #1143886 писал(а):

Частное решение

$y=\frac{1}{4}e^{-x}(\frac{1}{4}x-1)$

Арифметика вас подвела, а функции $C_1, C_2$ найдены правильно.

-- Сб авг 13, 2016 18:21:41 --

Gdasar в сообщении #1143886 писал(а):

Теперь задача решена полностью?

После исправления арифметической ошибки — да.

[Gdasar]

$y=\frac{1}{4}e^{-x}(2x-1)$

[arseniiv]

Ага. Но вы и сами можете проверить ответ подстановкой в уравнение.