Неравенство

[deep blue]

Пусть $a^2b^2+18abc\ge4a^3c+4b^3+27c^2$ для неотрицательных $a,b,c$. Докажите что $c\ge\dfrac{4ab-a^3}{9}$
Надеюсь нигде не напутал при переписывании, придумал сам.

[arqady]

Не напутали. Это верно.
Пусть $c=kb\sqrt{b}$ и $a=t\sqrt{b}$.
Тогда нужно доказать, что $k\geq\frac{4t-t^3}{9}$ при условии $27k^2+2(2t^3-9t)k+4-t^2\leq0$.
Можно считать, что $0<t<2$ иначе $k\geq\frac{4t-t^3}{9}$ очевидно верно.
С другой стороны, условие даёт $(2t^3-9t)^2-27(4-t^2)\geq0$ или $t\geq\sqrt3$.
Опять же из условия получаем $\frac{-2t^3+9t-2\sqrt{(t^2-3)^3}}{27}\leq k\leq\frac{-2t^3+9t+2\sqrt{(t^2-3)^3}}{27}$
То бишь остаётся доказать, что $\frac{-2t^3+9t-2\sqrt{(t^2-3)^3}}{27}\geq \frac{4t-t^3}{9}$ или $t^3-3t\geq2\sqrt{(t^2-3)^3}$ или $t\geq2\sqrt{t^2-3}$, а это как раз $t\leq2$,
что завершает доказательство.

Понятно, что в составлении Вашего неравенства задействовано $(x-y)^2(x-z)^2(y-z)^2\geq0$, но я пока не вижу, как это помогает.

[deep blue]

Неравенство в условии равносильно существованию таких $x,y,z\ge0$ что $a=x+y+z; b=xy+yz+zx; c=xyz$. Это следует из определения дискриминанта кубического уравнения (кстати, а можно ли это доказать без использования комплексных чисел?)
Поэтому мы вправе сделать соответствующую замену. Тогда второе неравенство превращается в известное неравенство Шура.

Вместо неравенства Шура можно было взять любое симметрическое неравенство от 3-x переменных и составить аналогичную задачу для него. Расчет был на то, что условие неотрицательности дискриминанта как-то помогает в доказательстве неравенства Шура или аналогичных неравенств. Но похоже это не очень облегчает их доказательство.

[arqady]

deep blue в сообщении #1143890 писал(а):

Вместо неравенства Шура можно было взять любое симметрическое неравенство от 3-x переменных и составить аналогичную задачу для него.

Составить-то так, конечно, составим, но вот доказать его моим способом не всегда, наверное, удастся.
Ведь равенство может достигаться и когда $\prod\limits_{cyc}(x-y)^2\neq0$.