Комплексные числа пожалуйста найдите ошибку

[sa233091]

Здравствуйте, я недавно начал изучать комплексные числа и в этой теме являюсь новичком.
Укажите пожалуйста на ошибку в доказательствах приведённых ниже:
1) ${i^2} = - 1 = \sqrt { - 1} \cdot \sqrt { - 1} = \sqrt {( - 1){}^2} = \sqrt 1 = 1
2) \cos x = \frac{{{e^{ix}} + {e^{ - ix}}}}{2} = {e^x}\frac{{{e^i} + {e^{ - i}}}}{2} = {e^x}\cos 1$
И если можно посоветуйте хорошую доказательную книгу по комплексным числам, комплексному анализу.

[arseniiv]

$e^{ab}=e^ae^b$ даже в вещественном случае неверно. А первую штучку уже рассматривают в соседней теме «проблема со степенью».

-- Пт авг 12, 2016 01:16:14 --

sa233091 в сообщении #1143458 писал(а):

И если можно посоветуйте хорошую доказательную книгу по комплексным числам, комплексному анализу.

По числам — хотя бы Зорич («Математический анализ», первый том, глава V, §5) (или другой достаточно подробный учебник матанализа или основ алгебры). По анализу ссылка упомянута как раз в конце той темы.

[mihailm]

в 1) ТС не знает, что чему равно $(-1)\cdot(-1)$
sa233091, может рановато пока за комплексные числа браться?

[maxmatem]

sa233091
А что собственно надо в первом то доказать? что $i^2=-1$ ?

[MeV]

1) {i^2} = - 1 = \sqrt { - 1} \cdot \sqrt { - 1} = (\sqrt { - 1})^2 \not = \sqrt {( - 1)^2} = \sqrt 1 = 1