Доказать тождество.

[hassword]

$(a+b)_n=\sum_{ij=n}{ (a)_i (b)_j}$
$(a)_n=\sum_{n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}{p_3}^{k_3}...{p_m}^{k_m}} \frac {a^{k_1+k_2+k_3+...+k_m}}{k_1!k_2!k_3!...k_m!}$,где $p_1,p_2,...,p_m$делители числа n, где суммирование ведется по всем представлениям числа n через его делители.
Например $(a+b)_6= (a)_6 +(a)_3 (b)_2+(a)_2 (b)_3+(b)_6$
$(a)_6=a+a^2$
$(a)_4=a+\frac{a^2}{2}$
$(a)_8=a+a^2+\frac{a^3}{6}$
представление числа 12 через его делители $12;6*2;4*3;3*2^2$
$(a)_{12}=a+a^2+a^2+\frac{a^3}{2}$

[maxal]

Тут важно упомянуть, что $1<p_1<\dots < p_m$, то есть представления $n$ рассматриваются с точностью до порядка сомножителей, а сами сомножители большие 1.

Утверждение легко следует из наблюдения, что $(a)_n$ равен коэффициенту при $\frac{1}{n^s}$ в следующем формальном ряде Дирихле (от формальной переменной $s$):

$$\prod_{p\geq 2} \sum_{k\geq 0} \frac{a^k}{k!}\frac{1}{(p^k)^s} = \prod_{p\geq 2} \exp\left(\frac{a}{p^s}\right) = \exp\left(a\cdot \sum_{p\geq 2} \frac{1}{p^s}\right).$$

Отсюда:

$$(a+b)_n = \text{Coeff}_{n^{-s}}\ \exp\left((a+b)\cdot \sum_{p\geq 2} \frac{1}{p^s}\right) = \text{Coeff}_{n^{-s}}\ \exp\left(a\cdot \sum_{p\geq 2} \frac{1}{p^s}\right)\cdot \exp\left(b\cdot\sum_{p\geq 2} \frac{1}{p^s}\right) = \sum_{ij=n} (a)_i\cdot (b)_j.$$