Условная вероятность. Бридж.

[Harvard]

Здравствуйте.

Условие задачи: Четыре игрока играют в бридж (52 разных карты в колоде, 4 масти, в начале партии каждому игроку сдаётся последовательно по 13 карт). Известно, что второй и четвертый игроки имеют вместе десять козырей (козыри - карты определенной масти). Нужно найти вероятность того, что все три оставшихся козыря находятся у одного игрока (т.е. либо первый, либо третий игрок не имеет козырей).

Моё решение:

Вероятность того, что второму и третьему игроку вместе достанется ровно 10 козырей:
$P(H)=4\cdot C^{10}_{13}\cdot\frac{C^{13}_{42}}{C^{13}_{52}}\left\lbrace\sum\limits_{i=0}^{10}\frac{C^{13-i}_{39-3-i}}{C^{13}_{39}}\frac{C^{13-10+i}_{26-3-10+i}}{C^{13}_{26}}\right\rbrace$
Рассуждал так: имеем всего 4 масти, также из 13 карт козырной масти нам надо выбрать 10, которые будут у второго и третьего игроков. Для сдачи первому игроку нас устраивает только 42 карты (без 10 козырных). В скобках: 10 козырных карт могут выпасть как на второго, так и на третьего игрока, при этом в выборе не участвуют 3 козырные карты. Последний (четвертый) игрок получает оставшиеся 13 карт единственным образом.

Вероятность того, что все три козыря находятся у одного игрока, а остальные 10 у второго и третьего:
$P(AH)=4\cdot C^{10}_{13}\cdot\left\lbrace\frac{C^{10}_{39}}{C^{13}_{52}} + \frac{C^{13}_{39}}_{C^{13}_{52}}\right\rbrace\left\lbrace\sum\limits_{i=0}^{10}\frac{C^{13-i}_{39-3-i}}{C^{13}_{39}}\frac{C^{13-10+i}_{26-3-10+i}}{C^{13}_{26}}\right\rbrace$

Рассуждения такие: 4 масти, выбираем 10 карт. Теперь первому игроку подходят только два варианта: в первом ему надо выбрать 10 карт из 39 (он получает три козыря), а во втором - 13 из 39 (соответственно он три козыря не получает).

Теперь можно посчитать условную вероятность:
$P(A|H)=\frac{P(AH)}{P(H)}=\left\lbrace\frac{\frac{C^{10}_{39}}{C^{13}_{52}} + \frac{C^{13}_{39}}_{C^{13}_{52}}}_{\frac{C^{13}_{42}}{C^{13}_{52}}}\right\rbrace = \left\lbrace\frac{C^{10}_{39}+C^{13}_{39}}_{C^{13}_{42}}\right\rbrace \approx 0.346 $

В книге, откуда взята задача (Феллер, "Введение в теория вероятностей и её приложения"), приводится такой ответ:
$2 \cdot \frac{C^{10}_{23}}{C^{13}_{26}} = \frac{11}{13} = 0.22 $

Подскажите, пожалуйста, где ошибся в рассуждениях.

[Pphantom]

Вы как-то очень переусложнили решение. На самом деле задачу можно переформулировать так:

Двум игрокам ("первому" и "третьему" в исходной терминологии) раздаются 26 карт, по 13 карт каждому. Из этих 26 карт 3 - козырные. Найдите вероятность того, что все козырные карты достанутся одному игроку.

Вот в таком виде и попробуйте ее решить. То, что достается "второму" и "четвертому" игрокам, роли не играет.

[Iam]

1. У Вас несоответствие номеров игроков в задаче и решении - поправьте.
2. При подсчете вероятности попадания 10-ти козырей 2-м игрокам я бы, прежде всего, объединил их карты в одну кучу (соответственно карты других двух.

Чуть припозднился, Pphantom уже разъяснил.

[Harvard]

Pphantom
Спасибо, рассуждая таким образом получилось решить.

Iam
Спасибо, не заметил, как упустил момент с номерами игроков. Попытался снова решить "в лоб":

$P(H)=4\cdot C^{3}_{13}\cdot\frac{C^{13}_{42}}{C^{13}_{52}}\left\lbrace\sum\limits_{i=0}^{10}\frac{C^{i}_{10} \cdot C^{13-i}_{39-3-i}}{C^{13}_{39}}\frac{C^{13}_{26-(10-i)}}{C^{13}_{26}}\right\rbrace$

Первый множитель в скобках относится ко второму игроку, второй - к третьему.

Вероятность того, что три козыря находятся у первого игрока, а остальные 10 у второго и четвертого:
$P(A_{1}H)=4\cdot C^{3}_{13}\cdot \frac {C^{10}_{39}}{C^{13}_{52}}\left\lbrace\sum\limits_{i=0}^{10}\frac{C^{i}_{10} \cdot C^{13-i}_{39-3-i}}{C^{13}_{39}} \cdot \frac{C^{13}_{26-(10-i)-3}}{C^{13}_{26}}\right\rbrace$

Вероятность того, что три козыря находятся у третьего игрока, а остальные 10 у второго и четвертого:
$P(A_{2}H)=4\cdot C^{3}_{13}\cdot \frac {C^{10}_{39}}{C^{13}_{52}}\left\lbrace\sum\limits_{i=0}^{10}\frac{C^{i}_{10} \cdot C^{13-i}_{39-3-i}}{C^{13}_{39}} \cdot \frac{C^{10}_{26-(10-i)-3}}{C^{13}_{26}}\right\rbrace$

Вся эта ерунда как-то не особо упрощается для дальнейшего решения на бумажке, но даёт близкий ответ.

[Geen]

Гипергеометрическое распределение. Точный тест Фишера.