Три числа и четыре числа

[Ktina]

Ксюша перемножила три последовательных натуральных числа, а Ханечка перемножила четыре последовательных натуральных числа.
К удивлению обеих девочек результаты получились одинаковые.
Какие числа перемножали девочки?
Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

[Infty]

Ну, один вариант очевиден: 2,3,4 и 1,2,3,4

[Ktina]

Infty
Второй не менее очевиден:
2, 3, 4, 5 и 4, 5, 6.
Осталось доказать, что других нет...

[ИСН]

Да щас!
$55\cdot56\cdot57=19\cdot20\cdot21\cdot22$
и вон что ещё есть: A064224

[Ktina]

ИСН
Ой...

[Genaa]

А если вспомнить формулу числа размещений из комбинаторики то ай-я-яй!!
Число упорядоченных последовательностей из трёх различных элементов,
выбранных из какого то конечного множества ,совпадает с числом упорядоченных
последовательностей из четырёх различных элементов другого,
несовпадающего по числу элементов с первым,конечного множества.
Заворачивают числа 3 и 4 . Не в смысле соображения на троих или четверых.
А в космологическим контексте..
Заранее каюсь за оффтоп,но вдруг в этом что то такое есть?

[Lia]

Genaa
Блокировка 3 суток за хронический флуд.

[scwec]

По мотивам последовательности OEIS A064224.
Если $N$ - произведение двух последовательных натуральных чисел, то $N+1,N+2,N+3,N+8,...$ (продолжается далее бесконечно)
не представимы произведением 3-х и 4-х последовательных натуральных чисел.
Для олимпиады лучше всего подходит доказательство утверждения того, что $N+2016$
не есть произведение 3-х и 4-х последовательных натуральных чисел.