Глупый вопрос про сферические гармоники

[madschumacher]

Добрый день. Извиняюсь за глупый вопрос. Правильно ли я понимаю, что сферические гармоники $Y_{lm}(\varphi, \theta)$ являются неприводимыми представлением группы вращений 3х мерного Эвклидова пространства ($SO(3)$)? И если да, на что можно сослаться?

И есть второй вопрос: где можно ещё найти корреляционные таблицы для неприводимых представлений, даваемых сферическими гармониками с неприводимыми точечными группами для симметрии тетраэдра ($T_d$) и октаэдра ($O_h$)?

[amon]

Ответ на первый вопрос - да. Точнее, являются базисом неприводимого представления номер $l$ (однородным полиномом степени $l$). Сослаться можно хоть на учебник Смирнова. Там это есть, как и в тысяче других мест. Есть еще справочник Варшаловича (Теория углового момента). По второму вопросу не помогу.

[madschumacher]

Спасибо большое. То, что нужно.

[Metford]

madschumacher в сообщении #1143101 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что сферические гармоники $Y_{lm}(\varphi, \theta)$ являются неприводимыми представлением группы вращений 3х мерного Эвклидова пространства ($SO(3)$)? И если да, на что можно сослаться?

В действительности, можно даже в третьем томе Ландау прочитать. Если понимать, что читаешь
Смысл такой. Операторы момента импульса являются инфинитезимальными операторами для группы $SO(3)$. В качестве пространства представления выбираются дифференцируемые функции трёх вещественных переменных, причём достаточно ограничиться теми, которые заданы на сфере (при любых вращениях сфера переходит сама в себя).
Базисные векторы представления удобно искать, отталкиваясь от оператора Казимира, который для группы $SO(3)$ - это квадрат оператора момента импульса.

$$\hat{\vec{L}}^2f=l(l+1)f.$$

Записываете это уравнение в сферических координатах - получаете дифференциальное уравнение для сферических функций. У Ландау описывается и как прийти к этому уравнению, и как его решают техникой повышающих и понижающих операторов.
Размерность представления группы вращений определяется т.н. весом - как раз число $l$ из уравнения (по совместительству максимальная проекция момента на выделенное направление - обычно ось аппликат) - и равна $(2l+1)$. Это как раз число сферических функций с первым индексом $l$, потому что у сферической функции два индекса, и второй принимает значения от $(-l)$ до $l$ через единицу. Так и получается, что из сферических функций можно построить базис в пространстве любого представления группы вращения с целым весом. Больше деталей у Ландау или, например, у Хамермеша.

По поводу второго вопроса не уверен, но тоже попробуйте посмотреть у Хамермеша. Там может быть.

[madschumacher]

Спасибо. В Ландавшица 3 я как раз сразу и полез и видимо не туда. Хотелось именно словами сказанную фразу.

[Metford]

Ваши параграфы 27, 28 ("Собственные значения момента" и "Собственные функции момента").

[amon]

madschumacher в сообщении #1143101 писал(а):

И есть второй вопрос

По второму вопросу такие неотчетливые соображения. Неприводимые представления, допустим, $T_d$ можно строить как представления группы вращений, только не используя аппарат групп Ли. Базисные функции - однородные полиномы, и их надо придумать так, что бы при преобразованиях из $T_d$ они преобразовывались друг через друга. То, что получится будет аналогом сферических функций. Места, где такие "тетраэдрические" или "кубические" функции были бы выписаны регулярно я не знаю. Кое-что можно отыскать в известной книжке Бира и Пикуса "Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках". Названия пугаться не надо, группы $T_d$ и $O_h$ - стандартные группы симметрии полупроводниковых кристаллов, и про них там много чего полезного написано.