Дифференцирования сложной функции

[dustmade]

Допустим, есть функция $f\left( {x,y} \right)$, где $x\left( {\xi ,\eta } \right)$ и $y\left( {\xi ,\eta } \right)$ физические координаты, а $\xi$ и $\eta$ натуральные координаты.
Для того, чтобы найти первую частичную производную $\frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial \xi }}$, я использую правило дифференцирования сложной функции

$$\frac{{\partial f\left( {x,y} \right)}}{{\partial \xi }} = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}$$

Аналогично, для нахождения второй частичной производной

$$\frac{{{\partial ^2}f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {\xi ^2}}} = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) = $$$$ = \frac{{{\partial ^2}x}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}} \right) + \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}} \right)$$

Но вот при нахождении третьей производной у меня возникают проблемы. Не могли бы вы подсказать, чему она будет равняться:

$$\frac{{{\partial ^3}f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {\xi ^3}}} = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)} \right) = \cdots$$

Спасибо заранее.

[Slav-27]

dustmade
Какие проблемы? Считать вы вроде бы умеете, дальше всё так же.

Если не хотите считать, попробуйте занять этим кого-нибудь другого, например компьютер.

[dustmade]

Slav-27
да, я посчитал самостоятельно, однако мой куратор выразил недоверие результатам, так что считать я как раз не умею . Если быть более точным, то проблема возникла вот на этом участке

$$\frac{{{\partial ^3}f\left( {x,y} \right)}}{{\partial {\xi ^3}}} & = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial \xi }}} \right)} \right) = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)} \right) $$$$ = \frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}x}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial x}} + \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {\xi ^2}}}\frac{{\partial f}}{{\partial y}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + 2\frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}} \right)$$

а именно в $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right)$, $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}} \right)$ и $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x}}{\partial {y}}}} \right)$, которые прийдется считать во второй строчке.

Я понимаю, что расчет всей третьей производной слишком громоздкий, однако не могли бы вы мне помочь именно с этими небольшими кусками? Достаточно одного $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right)$, чтобы я смог сделать все дальше сам.

[Lia]

Приведите, пожалуйста, собственные попытки вычисления. Например, $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right)$, $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}} \right)$ и $\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x}}{\partial {y}}}} \right)$. Любого на выбор.

[dustmade]

Lia
это можно

$$\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^3}}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^2}\partial y}}$$

Вот что у меня получается.

[arseniiv]

Так и должно быть.

-- Вт авг 09, 2016 00:24:29 --

Хотя, конечно, если функция $f$ не очень хорошая, может быть

$$\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial^2}{\partial x^2}f\ne\frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial y}f,$$

так что последнее слагаемое у вас могут счесть неправильным.

[dustmade]

arseniiv
функция у меня на основе кривой неоднородного рационального B-сплайна (NURBS) второго порядка. $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^3}}}$ и $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {y^3}}}$ в моем случае равняются нулю, а вот смешанные производные как раз нулю не равняются $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^2}\partial y}} \ne 0$, $\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x}\partial y^2}} \ne 0$.

[Metford]

dustmade, имелось в виду, что порядок дифференцирования может иметь значение.

[dustmade]

Значит вот так было бы более правильно?

$$\frac{\partial }{{\partial \xi }}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}} \right) = \frac{{\partial x}}{{\partial \xi }}\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^3}}} + \frac{{\partial y}}{{\partial \xi }}\frac{\partial }{{\partial y}}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}$$

[Otta]

dustmade
Смотря какой порядок гладкости $f=f(x,y)$. Обычно она достаточно гладкая, чтобы смешанные производные были равными, иначе они могут не совпасть уже на этапе вычисления второй производной. Я не думаю, что функция у Вас с потолка. Какая-то информация про нее есть. Типа дважды (трижды) непрерывно дифференцируема или еще более высокий порядок гладкости.

Вполне возможно, что Вы просто при дальнейшем вычислении ошиблись, там много слагаемых. Если ошиблись вообще.
Положите результат, будет, по крайней мере, на что смотреть.

[dustmade]

Otta
функция второго порядка $p = 2$, а гладкость выходит ${C^{1}}$.