Задачи по анализу (проверить правильность решений)

[Hasek]

Цитата:

Задача 1: Вычислите сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ с точностью до $0,01$.

Решение: Дан ряд с положительными монотонно убывающими членами, отброшенный остаток бесконечной суммы можно оценить сверху с помощью интегрального признака Коши-Маклорена.

$$r_n \le \int\limits_{n}^{\infty} \frac{dx}{x^3} \le 0,01$$

$$\frac{1}{2 n^2} \le 0,01 \Rightarrow n \ge 8$$

То есть для нахождения суммы ряда с заданной точностью достаточно просуммировать его первые восемь членов: $S_8 = \sum\limits_{n=1}^{8} \frac{1}{n^3}$.

Цитата:

Задача 2: Пусть $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ -- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число $t \in [0,1]$, что $\int\limits_0^t f(x)dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx$.

Решение: Воспользуемся тем фактом, что $\exists c \in [a,b] \colon \int\limits_a^b f(x)dx = f(c) \cdot (b-a)$. Применяем к интегралам в левой и правой частях равенства:

$$\frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx = \frac{1}{2} f(c_1)$$

$$\int\limits_0^t f(x)dx = f(c_2) t,$$

откуда

$$t = \frac{f(c_1)}{2f(c_2)}.$$

Существование доказано, но не ясно, почему это число оказывается именно из $[0,1]$.

Цитата:

Задача 3: Пусть $A$ и $B$ -- матрицы $n \times n$. Найдите смешанную производную $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ матрично-значной функции $f(x,y) = \exp(xA + yB)$ при $x=y=0$. (Производные функций со значениями в матрицах определяются точно так же, как производные числовых функций.)

Решение: Так как $e^A = \mbox{\textit{E}} + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \ldots$, то

$$f(x,y) = \mbox{\textit{E}} + (A \cdot e^{xA+yB} + B \cdot e^{xA+yB}) + \frac{1}{2}(A^2 \cdot e^{xA+yB} + AB \cdot e^{xA+yB} + BA \cdot e^{xA+yB} + B^2 \cdot e^{xA+yB}) + \ldots,$$

откуда $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = AB$.

Цитата:

Задача 4. Функция $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ дифференцируема почти всюду (в смысле меры Лебега), и почти всюду $f'(x) = 1$. Следует ли отсюда, что $f(1) - f(0) = 1?$ Если да, докажите. Если нет, приведите контрпример.

Решение: Нет, не следует. Контрпример:

$$f(x) = \begin{cases} x, ~x \in \mathbb{R} \setminus 0,1\\ 5, ~x = 0\\ 15, ~x = 1 \end{cases}$$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Тему разделите. Каждую задачу в отдельную тему. Иначе у Вас получается свалка.

Приведите содержательные попытки решения там, где они отсутствуют.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Возвращено.

[Padawan]

Цитата:

Задача 2: Пусть $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ -- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число $t \in [0,1]$, что $\int\limits_0^t f(x)dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx$.

Рассмотрите функцию $F(t)=\int\limits_0^t f(x) dx$. Она непрерывна на $[0,1]$. $F(0)=0$ и поэтому $\frac{1}{2} F(1)$ лежит между $F(0)$ и $F(1)$. Воспользуйтесь теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

[Hasek]

Padawan в сообщении #1143328 писал(а):

Цитата:

Задача 2: Пусть $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ -- интегрируемая функция. Докажите, что существует такое число $t \in [0,1]$, что $\int\limits_0^t f(x)dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 f(x)dx$.

Рассмотрите функцию $F(t)=\int\limits_0^t f(x) dx$. Она непрерывна на $[0,1]$. $F(0)=0$ и поэтому $\frac{1}{2} F(1)$ лежит между $F(0)$ и $F(1)$. Воспользуйтесь теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

Такой приём знаю, но по условию $f$ всего лишь интегрируемая функция, про её непрерывность ничего не сказано. Поэтому и быть уверенными в непрерывности интеграла мы не можем.

[Lia]

Hasek
Вы не ходили читать учебники, да?
Матан тоже забылся?
Что там со свойствами интегралов с переменным верхним пределом?

-- 15.08.2016, 21:43 --

Hasek Замечание за избыточное цитирование. Для выборочного цитирования, если оно вообще необходимо, выделяйте нужный фрагмент и используйте кнопку "Вставка".

[Hasek]

Lia, да, насчёт интеграла с переменным верхним пределом я не прав оказался. Теперь решение этой задачи понятно.