Задачи по комплексному анализу

[Hasek]

Цитата:

Задача 1: Рассмотрим функцию $f$, голоморфную в единичном диске $|z| \le 1$. Докажите, что

$$\int\limits_0^1 f(x)dx = \int\limits_{|z|=1}f(z)\log(z)dz,$$

где в левой части интегрирование ведётся по прямолинейному отрезку $[0,1]$, а в правой -- по единичной окружности с направлением обхода против часовой стрелки (делается только один обход, начинающийся в $1$). Выбирается ветвь логарифма, действительная на положительной полуоси действительной прямой.

Не очень понятна формулировка, а именно "выбирается ветвь логарифма, действительная на положительной полуоси действительной прямой". Комплексный логарифм $\log(z)$ -- это решение $\omega$ уравнения $e^\omega = z$. Поскольку по условию все $z$ лежат на единичной окружности, то имеем $z = e^{i \varphi}$, то есть $\log(z) = i \varphi$. Не понимаю, как он может быть действительным, ведь $\varphi$ хоть и периодично, но всегда действительно.

Цитата:

Задача 2: Известно, что все корни комплексного многочлена имеют положительную мнимую часть. Докажите, что все корни его производной тоже имеют положительную мнимую часть.

Вроде понятно, что задача на условия Коши-Римана, но не справился.

Цитата:

Задача 3: Пусть $f \in \mathbb{C}[z]$ -- многочлен степени $\ge 2$. Докажите, что сумма вычетов $1$-формы $\frac{dz}{f(z)}$ по всем комплексным нулям многочлена $f$ равна нулю. Верно ли это утверждение, если $f$ имеет степень $1$?

Решение: Вычет в точке $a$ совпадает с коэффициентом при $(z-a)^{-1}$ в ряде Лорана.

$$\frac{dz}{f(z)} = \frac{dz}{(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n)} = c_1\frac{dz}{z-z_1} + c_2 \frac{dz}{z-z_2} + \ldots + c_n \frac{dz}{z-z_n},$$

откуда для суммы коэффициентов получаем $c_1 + c_2 + \ldots + c_n = 0$.

Легко видеть, что для многочлена степени $1$ это неверно.

Цитата:

Задача 4: Вычислите интеграл $\int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{ikx}}{1+x^2}dx$.

Решение: В верхней комплексной полуплоскости находится одна особая точка $z = i$ подынтегральной функции, причём она является полюсом первого порядка, так как справедливо представление $f(z) = \frac{1}{z-i} \cdot \frac{e^{ikx}}{z+i}$, где второй сомножитель голоморфен во всей верхней комплексной полуплоскости.

Пусть $k \ge 0$. Тогда $\int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{ikx}}{1+x^2}dx = 2\pi i \cdot \mathop\mathrm{res}\limits_{z=i} \frac{e^{ikz}}{1+z^2} = \pi e^{-k}$.

Пусть теперь $k \le 0$. В этом случае $\int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{ikx}}{1+x^2}dx = \int\limits_{\infty}^{-\infty} \frac{e^{-ikt}}{1+t^2} (-dt) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i|k|t}}{1+t^2} dt = \pi e^{- |k|}$.

Ответ: $\pi e^{- |k|}$.

Цитата:

Задача 5: Отображение $f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ называется собственным, если прообраз относительно $f$ всякого компактного множества компактен. Докажите, что любой комплексный многочлен $f$, рассматриваемый как отображение плоскости комплексных чисел в себя, является собственным отображением.

К сожалению, не смог подступиться к решению этой задачи. Раз речь идёт про многочлены и комплексные числа, видимо надо как-то использовать то, что у многочлена степени $n$ ровно $n$ корней с учётом кратности.

[DeBill]

1.

Hasek в сообщении #1142412 писал(а):

как он может быть действительным,

Как? Да вот так:

Hasek в сообщении #1142412 писал(а):

действительная на положительной полуоси

Да не заморачивайтесь Вы этим: имеется в виду в точности та ветвь, которую Вы и предъявили.
А интегрировать по границе области "единичный круг с разрезом по отрезку $[0,1]$" Вы умеете? (Только лучше еще удалить $\varepsilon$- окрестность нуля...).
И: нет ли у Вас опечатки (типа пропущенного множителя $2\pi$)...

[Otta]

DeBill в сообщении #1142415 писал(а):

Да не заморачивайтесь Вы этим: имеется в виду в точности та ветвь, которую Вы и предъявили.

Я б на его месте заморочилась - у него она вообще одна.

[DeBill]

2. Вообще, есть и более общее утверждение: нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей многочлена...
Может, это было в Вашем курсе?

-- 06.08.2016, 17:45 --

3. А знаете Вы теорему о полной сумме вычетов?

-- 06.08.2016, 17:54 --

И еще: в Ваших выкладках все корни - простые. А вдруг это не так?
5. А слабо доказать что-то типа: если старший к-т мн-на равен 1, а сумма остальных к-тов меньше 100, то прообраз круга радиуса 777 лежит в круге радиуса 200?

-- 06.08.2016, 18:14 --

2. Вообще-то, общее утв-е следует из Вашего частного.
Можно делать примерно так: Пусть $P(z) = (z-z_1)\cdot ...\cdot (z-z_n)$.
Тогда $P'(z) = (z-z_2)\cdot ...(z-z_n)+ ...+(z-z_1)\cdot ...\cdot (z-z_{n-1}) = P(z)\cdot (\frac{1}{z-z_1}+ ...+\frac{1}{z-z_n})$. Ну, и если все $z_k$ в правой полуплоскости, а число $z$ - в левой, то произведение ну никак нулевым быть не могет (надо посмотреть на вещественную часть каждой из дробей...)

[ewert]

Hasek в сообщении #1142412 писал(а):

Задача 5: Отображение $f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ называется собственным, если прообраз относительно $f$ всякого компактного множества компактен. Докажите, что любой комплексный многочлен $f$, рассматриваемый как отображение плоскости комплексных чисел в себя, является собственным отображением.

К сожалению, не смог подступиться к решению этой задачи. Раз речь идёт про многочлены и комплексные числа, видимо надо как-то использовать то, что у многочлена степени $n$ ровно $n$ корней с учётом кратности.

Корни тут вообще не при чём. Вам надо только доказать, что прообраз любого замкнутого множества замкнут (фактически тут и доказывать нечего) и что прообраз любого ограниченного множества ограничен.

-- Сб авг 06, 2016 19:28:47 --

Otta в сообщении #1142417 писал(а):

Я б на его месте заморочилась - у него она вообще одна.

Ветвей-то много, только результат от выбора не зависит.

[Hasek]

Otta в сообщении #1142417 писал(а):

Я б на его месте заморочилась - у него она вообще одна.

Я прекрасно понимаю откуда берутся ветви, просто, видимо, применил неудачное обозначение -- под $i \varphi$ имел в виду $i (\psi + 2\pi k), ~k \in \mathbb{Z}$.

DeBill в сообщении #1142415 писал(а):

И: нет ли у Вас опечатки (типа пропущенного множителя $2\pi$)...

Опечатки точно нет, задача перепечатана именно в том виде, в котором дана.

DeBill в сообщении #1142418 писал(а):

2. Вообще, есть и более общее утверждение: нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей многочлена...
Может, это было в Вашем курсе?

Может я не помню (курс ТФКП был больше двух лет назад), а может и вовсе не было (учился не на математической специальности). В общем, я такого факта не знаю.

DeBill в сообщении #1142418 писал(а):

3. А знаете Вы теорему о полной сумме вычетов?

Да: сумма вычетов регулярной во всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек, функции равна нулю.

Не понимаю как использовать, ведь нули многочлена никак не являются его особыми точками. К тому же, насколько я помню её доказательство, там ещё играет свою роль и бесконечно удалённая особая точка, которая у многочлена, конечно, тоже есть, но и она явно не корень.

Спасибо за подсказки, ещё не всё успел осмыслить, завтра попробую ответить на остальное.

[ewert]

Hasek в сообщении #1142506 писал(а):

Опечатки точно нет, задача перепечатана именно в том виде, в котором дана.

"у Вас" -- имелось в виду "в Вашем оригинале". Там точно очипятка.

[DeBill]

Hasek в сообщении #1142506 писал(а):

ведь нули многочлена никак не являются его особыми точками

Зато они будут полюсами для $\frac{1}{f(z)}$... И - что-то будет у нее на бесконечности?

-- 07.08.2016, 02:41 --

DeBill в сообщении #1142415 писал(а):

нет ли у Вас опечатки (типа пропущенного множителя $2\pi$)..

Или $2\pi i$...

[ewert]

(Оффтоп)

DeBill в сообщении #1142516 писал(а):

Или $2\pi i$...

ну это уже не типо, а тупо...

[Hasek]

DeBill в сообщении #1142415 писал(а):

А интегрировать по границе области "единичный круг с разрезом по отрезку $[0,1]$" Вы умеете? (Только лучше еще удалить $\varepsilon$- окрестность нуля...).

Не уверен

Могу предложить два способа:
1. По одному из определений вычета $\int\limits_{\gamma} f(z)dz = 2\pi i \cdot \mathop\mathrm{res}\limits_{a} f$. Но нам не дана конкретная $f(z)$ и нет оснований предполагать, что её особая точка находится внутри единичного круга с центром в начале координат (или если находится, что она там одна).
2. Контур интегрирования разбивается на четыре: два отрезка $[0,1]$, проходимые в разных направлениях, маленькая окружность радиуса $\varepsilon$ и окружность радиуса $1$. Интеграл по маленькой окружности стремится к нулю при стремлении к нулю $\varepsilon$.

[ewert]

Hasek в сообщении #1142569 писал(а):

и нет оснований предполагать, что её особая точка находится внутри единичного круга с центром в начале координат

Зато есть основания предполагать противоположное. Для этого достаточно прочитать условия задачи.

Hasek в [url=http://d[quote="Hasek в [url=http://dxdy.ru/post1142569.html#p1142569]сообщении #1142569[/url] писал(а):

Контур интегрирования разбивается на четыре

Осталось проинтегрировать.

[Hasek]

ewert в сообщении #1142589 писал(а):

Зато есть основания предполагать противоположное. Для этого достаточно прочитать условия задачи.

Да, она голоморфная в единичном диске, забыл.

ewert в сообщении #1142589 писал(а):

Осталось проинтегрировать.

Скорее всего это бред:
$\int\limits_{|z|=1} f(z) \log(z) dz = \lim\limits_{\varepsilon \to 0} (i \int\limits_{\varepsilon}^1 f(x) \varphi dx - i \int\limits_1^{\varepsilon} f(x) \varphi dx - i \int\limits_{|z|=\varepsilon} f(z) \varphi dz + i \int\limits_0^{2 \pi} f(x) \varphi d \varphi) = 2i \int\limits_{0}^1 f(x) \varphi dx + 2\pi i \cdot f(x) $

[ewert]

Фи! Кто такой фи -- и где какой?...

[Hasek]

ewert в сообщении #1142612 писал(а):

Фи! Кто такой фи -- и где какой?...

Это угол. Вместо $\log(z)$ подставляю $i \varphi$. В интеграл от $1$ до $\varepsilon$ подставляю $- i \varphi$, так как этот отрезок расположен зеркально относительно действительной оси по отношению к отрезку от $\varepsilon$ до $1$. Перед третьим интегралом минус потому что направление обхода маленькой окружности противоположно направлению обхода большой.

[ewert]

Hasek в сообщении #1142615 писал(а):

Вместо $\log(z)$ подставляю $i \varphi$.

Да с какой стати-то??!

Так, давайте по порядку. Выпишите формально все четыре слагаемых в интеграле, напишите, чему равна их сумма и потом разбирайтесь с каждым.

Кстати, $\log z$ по-русски выглядит безосновательно и, следовательно, непристойно.