О "логическом тождестве"

[Rusit8800]

Справедливо ли следующее "логическое тождество":

Утверждение А верно тогда и только тогда, когда выполняется условие У $\Longleftrightarrow$ Если утверждение А верно, то выполняется условие У(прямое) $\wedge$ Если выполняется условие У, то верно утверждение А(обратное)

Я в школе логику не проходил, поэтому дать однозначный ответ не могу, но мне все-таки кажется,что это "тождество" верно, т.к. оно проверено на множестве случаев(но не на всех), например на теореме Чевы и Меленая.

[Sonic86]

$(A\Leftrightarrow B)\equiv (A\Rightarrow B) \wedge (A\Leftarrow B)$
Это что-ли?

[Rusit8800]

На самом деле я сам запутался.Например теорема Чевы:
Три чевианы конкуренты, тогда и только тогда когда выполняется равенство P $\Leftrightarrow$ Если три чевианы конкуренты, то выполняется равенство Р $\wedge$ Если выполняется равенство Р, то три чевианы конкуренты.
Равенство мне было лень переписывать.

-- 05.08.2016, 11:08 --

То есть вопрос: достаточно ли доказать утверждения "Если три чевианы конкуренты, то выполняется равенство Р" и "Если выполняется равенство Р, то три чевианы конкуренты" чтобы было верно "Три чевианы конкуренты, тогда и только тогда когда выполняется равенство P" и так для всех утверждений, необязательно теорема Чевы?

[Lia]

Слова "тогда и только тогда" именно это и означают. По определению.

[Rusit8800]

Цитата:

Слова "тогда и только тогда" именно это и означают

Равносильность?

-- 05.08.2016, 11:16 --

Раз это так,по определению, то это интуитивно понятно, но мне нет

[INGELRII]

"Я пьян тогда и только тогда, когда я много выпил" $=$ "(Я много выпил, следовательно, я пьян) и (я пьян, следовательно, я много выпил)".

Что тут вообще может быть не очевидно?!

[Rusit8800]

Боже, почему это вызвало у меня такое непонимание ?!(я понял)

[arseniiv]

Всяко бывает. «Тогда и только тогда», как и составляющие её «тогда» и «только тогда» (ещё употребляющиеся) — не очень прозрачные конструкции, их употребление не совсем такое же как в обычном языке. Гипотетическое «влечёт и влечётся» выглядело бы понятнее.

[Rusit8800]

Просто заведомо не понятно, что если А верно тогда и только тогда, когда выполняется У, то если выполняется У, то А верно(обратное).Прямое же сразу очевидно.

[arseniiv]

Это можно понять исходя из употребления «тогда» и «только тогда».
«$A$ тогда, когда $B$» означает $B\Rightarrow A$.
«$A$ только тогда, когда $B$» должно, в принципе, означать «$\neg A$ тогда, когда $\neg B$», так что по контрапозиции это $A\Rightarrow B$.
А вместе выходит эквивалентность. Но, как я уже говорил, по одному только нематематическому языку это не обязательно правильно угадается.

[provincialka]

А я вот подумала, почему в русском языке тут используется местоимение, связанное со идеей времени? Не говорят же "там и только там".
Вот по-английски логичнее: "if and only if". То есть "если и только если".

[arseniiv]

provincialka в сообщении #1142507 писал(а):

Не говорят же "там и только там".

Кстати, тоже довольно коротко получается, интересная идея! (Хотя, конечно, не сравнится с моим сочетанием залогов! ) Этимологию бы интересно узнать и для тогда…, и для if…, в том числе и сокращения iff (ттт ещё ясно).

P. S. Немного об этимологии iff: https://en.wikipedia.org/wiki/If_and_only_if#Origin_of_iff.

[mihaild]

provincialka в сообщении #1142507 писал(а):

А я вот подумала, почему в русском языке тут используется местоимение, связанное со идеей времени?

Видимо потому что мы берем и подставляем что-то в утверждение. Когда подставили - тогда и получили истинность или ложность.

[Aritaborian]

provincialka, мне, как носителю белорусского языка, как-то понятнее. В белорусском языке слово калi означает одновременно и «когда» и «если».