Работа по перемещению заряда из центра диэлектрической сферы

[Metford]

Turtur в сообщении #1142023 писал(а):

Интегрирую же по объёму, он как раз так и выражается.

Интегрируете-то Вы по объёму. Вы, судя по всему, написали объём шара, а Вам для записи интеграла нужен элементарный объём. Можно, конечно, по всей науке написать элемент объёма в сферических координатах. Но зачем, если в задаче сферическая симметрия? Так как от полярного и азимутального углов нет никакой зависимости, то можно разбить пространство на тонкие сферические слои. Объём такого слоя можно опять-таки посчитать по всей науке, вычитая из объёма чуть большего шара объём чуть меньшего шара с пренебрежением малостью выше первого порядка (в отличии радиусов шаров), а можно порассуждать. Объём тонкого сферического слоя можно найти умножением площади его внутренней сферы-границы на толщину слоя - так получается $4\pi r^2\cdot dr$. И никаких $\frac{4}{3}$.

[Turtur]

rustot, да, я неправильно объём выразила, извиняюсь. Сейчас пересчитала, энергия в конце равна $kq^2\frac{1}{2}\frac{R-r}{Rr}$. Поскольку энергия вначале прямо пропорциональна квадрату напряженности, то есть $\varepsilon^{-2}$ работа будет равна $kq^2\frac{1}{2}\frac{R-r}{Rr}\frac{\varepsilon^2-1}{\varepsilon^2}$.
Что сейчас не то? У меня есть правильный ответ к этой задаче: $kq^2(\varepsilon-1)\frac{\varepsilon R - r}{\varepsilon^2rR}$ никак не бьётся с тем, который я получила. Хотя, может, этот "правильный ответ" неверный? Всё ведь делаю буквально по пунктам, каждый вы объясняете.

-- 04.08.2016, 17:53 --

Metford, да, я поняла это, спасибо большое, вы мне очень помогаете.
Честно говоря, я не понимаю, почему нельзя считать через энергию конденсатора? Разве там поле будет другое? Между обкладок-то, если его зарядить $q$. Сейчас пересчитала, действительно, получается то же самое: $kq^2\frac{1}{2}\frac{R-r}{Rr}$. Ну действительно, ёмкость будет $k\frac{Rr}{R-r}$, всё так же выходит.

[rustot]

Turtur в сообщении #1142028 писал(а):

Поскольку энергия вначале прямо пропорциональна квадрату напряженности

Когда интегрируете в вакууме то коэффициент 1 при энергии, когда по диэлектрику то коэффициент $\frac{1}{\varepsilon}$, поэтому при разности коэффициент будет $\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}$. Откуда у вас квадраты?

Плотность энергии пропорциональна $\vec{D}\vec{E} = D^2/\varepsilon$, причем $\vec{D}$ "не замечает" наличия диэлектрика, она одинакова в обоих случаях

[Turtur]

rustot, энергия вначале прямо пропорциональна квадрату напряженности - правильно ведь? Ну а та вначале в $\varepsilon$ раз меньше, чем в конце, отсюда квадраты, напряженность же по квадрату зависит.

[rustot]

Но плотность энергии поля НЕ пропорциональна квадрату напряженности, если это не вакуум, она пропорциональна $\vec{D}\vec{E} = \varepsilon E^2 = D^2/\varepsilon$

[Turtur]

rustot, чёрт, точно. Извините, до меня долго доходит.
Тогда ответ: $kq^2\frac{R-r}{2Rr}\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}$. Он верен? Извните, что так долго мусолю такой простой вопрос.
И действительно, если находить энергию поля как энергию конденсатора, то ясно, что всё будет в минус первой степени пропорционально, так как ёмкость по первой зависит от проницаемости.