Работа по перемещению заряда из центра диэлектрической сферы

[Turtur]

Всем здравствуйте. Возникли проблемы с такой задачей:

Цитата:

Точечный заряд $q$ находится в центре сферического слоя диэлектрика с диалектической проницаемостью $\varepsilon$. Какую работу надо совершить, чтобы удалить заряд через узкий канал из центра на бесконечность? Внутренний и наружный радиусы слоя равны $r$ и $R$.

Мои соображения: ясно, что поля внутри сферы нет, и оно есть только внутри диэлектрического слоя и вне самой сферы. Поле вне сферы совпадает с полем, созданным сферой(1) с зарядом $q$ и радиусом $R$, поскольку в нашей ситуации на внешнем слое сферы индуцируется заряд $q$. Отсюда нахожу энергию такой сферы(1):$W_1=kq^2/2R$.
Поле внутри диэлектрического слоя находим как поле конденсатора с зарядом $q$ и радиусом обкладок $r$ и $R$, заполненных диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Энергия такого конденсатора равна $W_2=q^2k(R-r)/2Rr\varepsilon$.
Пожалуйста, подскажите, что в моих рассуждениях было неверным, сама никак не дохожу. Спасибо!

[Munin]

Turtur в сообщении #1141820 писал(а):

Мои соображения: ясно, что поля внутри сферы нет, и оно есть только внутри диэлектрического слоя и вне самой сферы.

Это диковато.

Поле внутри сферы есть, но такое же, как если бы сферы вообще не было. Потом в слое поле ослабляется, а на выходе из слоя - опять восстанавливается в полную силу, как если бы сферы вообще не было. И индуцируемый заряд на поверхностях слоя - не $q,$ а поменьше.

Сделайте теперь второй заход на задачу.

[rustot]

Почему внутри сферы нет поля? Сфера же не проводящая.

Я думаю "находится в центре сферического слоя" следует трактовать как "в центре сферы" а не как "посредине между $r$ и $R$", иначе задача становится неподъемной. А если заряд в центре сферы то диэлектрик "модифицирует" поле только внутри себя самого и не затрагивает поле заряда внутри и снаружи сферы

[DimaM]

Добавлю, что лучше не лезть в конденсаторы, а вычислять просто энергию поля.

[Turtur]

Munin, rustot, да, вы правы, конечно. Т.е. когда мы отнесем заряд не бесконечность, поле у него будет такое же, как и изначально, за исключением области внутри сферы. Так, вначале по определению в этой области было поле $E/\varepsilon$, а в конце в том же объеме будет поле с напряженностью $E$. Чтобы найти изменение энергии в этом объёме (а значит и саму работу) нужно взять интеграл $\int\limits_{r}^{R}$ qEdx$, который будет равен энергии поля (в том же объёме) в конце перемещения заряда. Ясно, что изменение энергии поля равно $\int\limits_{r}^{R} qEdx\cdot\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}$, потому что энергия поля вначале в $\varepsilon$ раз меньше энергии поля в конце.
Получила ответ: $\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}k(R-r)q^2/2Rr$.
DimaM, почему? Выходит ведь то же, по сути. Всё вышеописанное можно без интегрирования, просто свелось бы к нахождению энергии сферического кондера с зарядом $q$ и радиусами обкладок $R$ и $r$, сначала воздушного, потом с диэлектриком $\varepsilon$ ну и.т.д., ответ тот же получила.
Извините, что вчера не ответила, не было возможности.

[Metford]

Turtur в сообщении #1141994 писал(а):

Чтобы найти изменение энергии в этом объёме (а значит и саму работу) нужно взять интеграл \int\limits_{r}^{R}qEdx , который будет равен энергии поля

Насколько я вижу, Вы составляете интеграл для вычисления работы. Энергию поля обычно вычисляют через объёмную плотность энергии. В условиях сферической симметрии интеграл будет выглядеть несколько иначе. Коэффициент появится.
А посоветовали вычислять энергию Вам абсолютно правильно.

[rustot]

Вам нужно из энергии поля точечного заряда в вакууме вычесть энергию поля точечного заряда окруженного диэлектрической сферой. Поскольку поля (а значит и их плотность энергии) отличаются по величине для этих двух случаев только в объеме диэлектрика, то интегрировать и вычитать друг из друга можно только энергии в этом объеме.

То есть решать нужно через вычислении начальной и конечной энергий системы. А так как хотите вычислить вы, через $dA = \vec{F}\vec{dr} = q\vec{E}\vec{dr}$ - это неподъемная задача, поскольку для этого вам нужно будет суметь вычислить поле создаваемое диэлектриком при различных положениях заряда (поскольку оно будет постоянно меняться по мере движения заряда), а это сложно

[Metford]

rustot в сообщении #1142001 писал(а):

поскольку оно будет постоянно меняться по мере движения заряда

И в зависимости от траектории движения заряда, про которую в задаче ничего не говорится.

[Munin]

Turtur в сообщении #1141994 писал(а):

Чтобы найти изменение энергии в этом объёме (а значит и саму работу) нужно взять интеграл $\int\limits_{r}^{R}$ qEdx$, который будет равен энергии поля (в том же объёме) в конце перемещения заряда.

Вас сбивает с толку перемещение заряда. Вы пытаетесь найти изменение энергии как работу по перемещению по какой-то линии. Забейте. Просто посчитайте энергию системы вначале (заряд + диэлектрический слой), и в конце (один заряд). Тем более что работу по перемещению вы правильно не посчитаете - это очень сложно.

[rustot]

Metford в сообщении #1142003 писал(а):

И в зависимости от траектории движения заряда, про которую в задаче ничего не говорится.

Именно так. И закон сохранения энергии позволяющий находить результат по начальному и конечному значению которые НЕ зависят от траектории очень облегчает жизнь. При вычислении через силу можно было бы брать любую траекторию и результат бы не менялся, но вычисление будет сложным даже по прямой

[Metford]

rustot в сообщении #1142010 писал(а):

Именно так. И закон сохранения энергии позволяющий находить результат по начальному и конечному значению которые НЕ зависят от траектории очень облегчает жизнь.

Ну так, я собственно говоря, ровно об этом. Я не хотел сразу подробно расписывать, а потом смотрю: все только что решение не привели. Осталось только, чтобы кто-то написал энергию в виде интеграла от объёмной плотности. И лучше бы это был ТС.

А вычислять непосредственно работу - это слишком...

[Turtur]

Да, поняла, что нужно сделать, всем спасибо. Энергия в выделенном объёме (в объёме сферического слоя) в конце равна: $\varepsilon_0\frac{1}{2} \int\limits_{r}^{R} k^2q^2\frac{4}{3}\pi \frac{1}{r^2}dr$, в итоге получила $kq^2\frac{1}{6}\frac{R-r}{Rr}$.
Тогда работа будет $\frac{\varepsilon^2-1}{\varepsilon^2}kq^2\frac{1}{6}\frac{R-r}{Rr}$.

[Metford]

Turtur, я, наверное, знаю ответ, но откуда $\frac{4}{3}$?

[Turtur]

Metford, да я не сомневалась, что ответ знаете :)
Ну, разве не $4/3$? Интегрирую же по объёму, он как раз так и выражается.

[rustot]

В слое $dr$ объемом $4 \pi r^2 dr$ поле имеет плотность энергии $\frac{\vec{E}\vec{D}}{8\pi} = \frac{D^2}{8\pi\varepsilon} = \frac{q^2}{8\pi \varepsilon r^4}$ и следовательно энергию $\frac{q^2 dr}{2 \varepsilon r^2}$. Суммарная энергия в диэлектрике $\frac{q^2}{2\varepsilon}\int \frac{dr}{r^2} = \frac{q^2}{2\varepsilon} (1/r-1/R)$, вроде так

1/3 образовалось бы если бы $r^2$ было в числителе, а не знаменателе, то есть если бы вы интегрировали однородную плотность энергии по объему, а не убывающую обратно пропорционально $r^4$