Попытка продолжить эту тему показала, что использование равенства

проще.
Поэтому перепишем то, что мы изложили для этого равенства.
Особой разницы в изложении нет, потому что дискриминант нужного нам квадратичного сравнения получается тем же.
Пусть ненулевые, взаимно-простые целые числа

,

и

удовлетворяют уравнению Ферма:

,
где

- нечётное простое число.
Пусть

делится на

(мы рассматриваем 2-ой случай ВТФ).
Пусть

- нечётное число.
Пусть

не является квадратом.
Последнее утверждение нуждается в доказательстве, но мы пока примем его без доказательства.
Пусть

- целое число.
Тогда

, и

.
Пусть

- простое число, удовлетворяющее следующим условиям:
1)

.
2) Число

является квадратичным невычетом по модулю

.
3) Число

не делится на

.
Существует бесконечное множество простых чисел

, удовлетворяющих условиям 1), 2), 3), в силу теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Понимание этого утверждения представляет некоторую сложность.
Мы не будем вдаваться в объяснения, но заметим следующее: если квадратичный символ

, то

, в силу закона квадратичной взаимности, поскольку

и

дают остаток

при делении на

.
Пусть

- целое число, удовлетворяющее сравнению:

.
Запишем это сравнение в виде:

.
Дискриминант этого квадратного сравнения равен

.
Число

является квадратичным невычетом по модулю

, в силу условия 2).
Следовательно, число

является квадратичным вычетом по модулю

, в силу условия 1).
Значит существует целое число

, удовлетворяющее квадратному сравнению

.
Поскольку любое целое число, сравнимое с

по модулю

также удовлетворяет этому сравнению, то существует бесконечное множество таких

.
Выберем такое

, чтобы число

было взаимно-просто с

.
Продолжение следует.