Геометрический смысл тензора кручения.

[пианист]

Munin в сообщении #1141609 писал(а):

Я вспомнил, где мне встречалось кручение: в группах Ли, например, $SU(2),SO(3).$

Ну, если уж группы Ли вспоминать, можно и более непосредственно :)
Многообразие с заданной аффинной связностью, т.ч. а) кривизна равна нулю, б) кручение ковариантно постоянно, как раз и есть в точности группа Ли (кручение суть структурные коэффициенты).

(Оффтоп)

В этой связи любопытно, а что будет представлять собой объект, такой же, но кривизна не ноль, а тоже ковариантно постоянна (типа - симметрическое пространство с кручением).

[Munin]

А разве кривизна $SU(2)$ нуль? Она же сфера.

[lek]

пианист в сообщении #1141682 писал(а):

В этой связи любопытно, а что будет представлять собой объект, такой же, но кривизна не ноль, а тоже ковариантно постоянна (типа - симметрическое пространство с кручением).

Подобные объекты (геодезические лупы) изучались в статье Акивиса (M.A. Akivis) 1978 года. В аффинно связанном пространстве он определил операцию умножения (используя параллельный перенос геодезических) и доказал, что кривизна $R^{i}_{jkl}$ и кручение $R^{i}_{jk}$ удовлетворяют равенствам вида

$$ \alpha^{i}_{jk}=R^{i}_{jk},\qquad \beta^{i}_{jkl}=R^{i}_{jkl}-\nabla_{l}R^{i}_{jk}, $$

где $\alpha^{i}_{jk}$ и $\beta^{i}_{jkl}$ - структурные константы (локальной) геодезической лупы, связанные с коммутаторами и ассоциаторами соответственно.

Munin в сообщении #1141694 писал(а):

А разве кривизна $SU(2)$ нуль? Она же сфера.

пианист писал, что "кручение ковариантно постоянно". В этом случае (ввиду ассоциативности операции умножения в группе) $R^{i}_{jkl}=\beta^{i}_{jkl}=0$.

[Munin]

Не буду спорить, хотя и не понял...

[пианист]

lek
Спасибо.
Видимо, вот эта http://gdz.sub.uni-goettingen.de/downlo ... G_0046.pdf ?
Всегда считал, что лупы это такое абстрагирование ради абстрагирования (ну и, публикаций, ест-но :), похоже, это все же не совсем правильно.

Munin
Типа, можно реализовать без кручения, но с кривизной, а можно наоборот.

(Оффтоп)

Еще одно кстати: как сюда вписывается метрика Киллинга?
Навскидку кажется, что, отталкиваясь от метрики можно получить или "обычное" представление ($SO(3)$ сфера), а можно плоское с кручением.
Тогда следующий вопрос: то же самое, но если метрика не Киллинга (не всякая же метрика такова?)?

[lek]

пианист в сообщении #1141812 писал(а):

Видимо, вот эта...

Точно. Кстати, спасибо за статью, у меня был только англоязычный вариант.

[Geen]

А я правильно понимаю, что в пространстве с кручением момент импульса не сохраняется?

[Munin]

пианист в сообщении #1141812 писал(а):

Типа, можно реализовать без кручения, но с кривизной, а можно наоборот.

Моя детская интуиция пытается протестовать... но я ей говорю, чтобы сидела слоение Хопфа ботала...

[lek]

пианист в сообщении #1141812 писал(а):

Еще одно кстати: как сюда вписывается метрика Киллинга?
Навскидку кажется, что, отталкиваясь от метрики можно получить или "обычное" представление ($SO(3)$ сфера), а можно плоское с кручением.
Тогда следующий вопрос: то же самое, но если метрика не Киллинга (не всякая же метрика такова?)?

В чистом виде никак, имхо (необходимо дополнительное условие, согласующее связность с метрикой). Метрика Киллинга (точнее, метрический тензор Картана) фиксируется заданием структурных констант алгебры Ли, а тензоры кручения и кривизны (определенные на многообразии соответствующей группы Ли) зависят еще и от выбора значения произвольного вещественного параметра (теорема 3 в статье Акивиса). Поэтому любое условие, фиксирующее значение этого параметра, согласует связность с метрикой Киллинга. С произвольной метрикой ситуация сложнее...

Geen в сообщении #1141830 писал(а):

А я правильно понимаю, что в пространстве с кручением момент импульса не сохраняется?

Это зависит от того, как вы определите это понятие (но как правило, нет). Обычно, в неметрических теориях типа Эйнштейна-Картана (см., например, "Калибровочная теория гравитации" Иваненко и др.), тензор кручения связывается с плотностью внутреннего момента импульса (спина) материи. Сам он не сохраняется, но сохраняются определенные комбинации (зависящие от вида исходного лагранжиана) тензора энергии-импульса и тензора спина.

[Sergey Vergeles]

Может уже не актуально ... но поскольку такого ответа в этой ветке не нашёл, то напишу.

Геометрический смысл тензора кручения следующий. Пусть есть замкнутый контур (петля)

$$ x^\mu(s), \qquad \mathrm{d}x^{\mu}(s) $$

Вторым я написал приращение координаты вдоль этого контура. Это приращение является вектором в точке s. Параллельным переносом перенесём все вектора-приращения в начало петли, обозначив результат

$$ \mathrn{d}\bar x^{\mu} $$

и найдём их сумму. В результате получим

$$ \int \mathrn{d}\bar x^{\mu} = T^{\mu}_{\lambda\nu}S^{\lambda\nu}, \qquad S^{\sigma\mu} = \frac{1}{2}\oint x^\sigma\mathrm{d} x^\mu $$

где S -- площадка, натянутая на контур, а T -- тензор кручения. Разумеется, контур должен быть малым.

[epros]

Sergey Vergeles в сообщении #1153138 писал(а):

Параллельным переносом перенесём все вектора-приращения в начало петли

По каком пути?

[Sergey Vergeles]

epros в сообщении #1153235 писал(а):

Sergey Vergeles в сообщении #1153138 писал(а):

Параллельным переносом перенесём все вектора-приращения в начало петли

По каком пути?

Поскольку петля мала, линейного размера epsilon -> 0, то можно считать, что по отрезку, прямому в координатной сетке $x^\mu$. Если считать, скажем, что по геодезическим, проходящим через текущую точку контура и начало петли, то получится то же самое в главном, т.е. epsilon^2 порядке.

[пианист]

пианист в сообщении #1141682 писал(а):

Многообразие с заданной аффинной связностью, т.ч. а) кривизна равна нулю, б) кручение ковариантно постоянно, как раз и есть в точности группа Ли (кручение суть структурные коэффициенты).

Извиняюсь за некропостинг.
Существенное, как мне кажется, библиографическое замечание: оказывается (увы, не знал раньше), эта штука называется связность Картана.
Постников, Риманова геометрия, семестр V.

[Munin]

пианист в сообщении #1141812 писал(а):

Типа, можно реализовать без кручения, но с кривизной, а можно наоборот.

Наверное, можно и произвольные линейные комбинации брать?

[пианист]

Думаю, можно.
Типа: берем точку, в ней касательные вектора по $i$-му и $j$-му направлениям $dx^i$ и $dx^j$ и еще один касательный вектор с компонентами ${\delta x}^k$. Переносим $dx^i$ по $dx^j$ в угол квадрата (угол слегка расплывется, но ничего, это скажется в другом порядке), $dx^j$ по $dx^i$ туда же, находим разницу. Вектор ${\delta x}^k$ переносим в тот же угол по $dx^i$, потом $dx^j$, и наоборот, и тоже находим разницу. Сумму двух таких "невязок" с весовыми коэффициентами (их на берегу закладываем в модель) требуем равняться нулю. При одних (вырожденных) значениях весов будет связность с нулевым кручением, при других с нулевой кривизной.
Как-то так.