равенство 1

[ghenghea]

Пусть $S$ множество натуральных чисел ,которые не делятся на квадраты натуральных чисел,превосходящих единицу.Докажите,что для любово натурального числа $n$ сраведливо равенство $\sum_{k \in S} \left[ \sqrt{\dfrac{n}{k}} \right] =n

[Sonic86]

ghenghea в сообщении #1141322 писал(а):

натуральных чисел ,которые не делятся на квадраты натуральных чисел,превосходящих единицу.

Это называется проще - число, свободное от квадратов.
Доказать можно ну хоть по индукции. База очевидна. Шаг
$\sum\limits_{k \in S} \left[ \sqrt{\frac{n-1}{k}} \right] =n-1\Rightarrow \sum\limits_{k \in S} \left[ \sqrt{\frac{n}{k}} \right]=n$ верен, если верна разность формул:
$\sum\limits_{k \in S} \left[ \sqrt{\frac{n}{k}} \right] - \left[ \sqrt{\frac{n-1}{k}} \right]=1$
Слагаемые, очевидно, неотрицательны и не превосходят $1$. Слагаемое равно 1, только если $\frac{n}{k}$ - точный квадрат: $(\exists a)n=ka^2$. Но ясно, что есть всего одно разложение $n$ на произведение квадрата и числа, свободного от квадратов (легко написать общую формулу). Значит всего слагаемое суммы равно $1$. Откуда все и следует.

(Оффтоп)

ghenghea в сообщении #1141322 писал(а):

для любово

для любого