Разбиение чисел на пары (по мотивам задачи А. Храброва)

[Ktina]

Требуется так разбить целые числа от 1 до 2016 на пары, числа в
парах сложить, и эти суммы перемножить, чтобы полученное произве-
дение оказалось $k$-й степенью натурального числа.

При каком наименьшем натуральном $k$ это невозможно сделать?

[ИСН]

Что-то вообще непонятно даже, чего ожидать. Ну, разобьём на пары банальным образом: 1+2016, 2+2015 и т.д. Их выйдет 1008, так что произведение будет квадратом в самый раз, а также кубом, 4-й, 6-й, 7-й и много какой ещё степенью. Первая не покрытая - 5. Ну а можем мы сделать 5? Дак это... пожалуй, можем.

$$ \begin{array}{l} \left.\begin{array}{l}1 + 3 \\ 4 + 5 \\ 2 + 7 \\ 12 + 6 \\ 13 + 11 \\ 14 + 10 \\ 15 + 9 \\ 16 + 8\hphantom{11111} \\ \hline \end{array}\right\}2^{15}3^{10} \\ \left.\begin{array}{l}17+2016 \\ \dots \\ 1016+1017 \end{array}\right\}2033^{1000} \end{array} $$