Закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса

[AscendedPrat]

Собственно, всё, до чего я дошёл в решении задачи - в названии темы.

Если взять за $\alpha$ угол между прямой, соединяющей центр луны и метеорит, и прямой, перпендикулярной пунктирной линии, проходящей через центр луны, то расстояние от центра луны до метеорита будет $r=\frac{R_л+l}{\cos\alpha}$.
Дальше, я думаю, нужно разложить $v_0$ на два вектора, один из которых - $v_1$ - будет направлен по касательной к окружности, радиусом которой является $r$, а центром - центр луны, а другой - $v_2$ - перпендикулярно ему в центр луны.
Здесь возникают трудности: нужно ли учитывать как-то $v_2$ при записи закона сохранения момента импульса?

Далее, получаем, что $v_1=v_0\cos\alpha$, и момент импульса $L$ в данной точке будет равен $m(R_л$$+l)v_0$.
Так как система тел замкнута, я полагаю, что момент импульса изменяться не будет, но что делать с этим дальше, не знаю.

[Munin]

Момент импульса вы нашли верно, ничего менять не нужно.

[DimaM]

AscendedPrat в сообщении #1140999 писал(а):

Собственно, всё, до чего я дошёл в решении задачи - в названии темы.

Ну так запишите закон сохранения энергии. И закон сохранения момента импульса (рассмотрите прицельное расстояние, граничное между приводящими к падению и проходящими мимо траекториями).

[Батороев]

AscendedPrat в сообщении #1140999 писал(а):

Если взять за $\alpha$ угол между прямой, соединяющей центр луны и метеорит, и прямой, перпендикулярной пунктирной линии, проходящей через центр луны, то расстояние от центра луны до метеорита будет $r=\frac{R_л+l}{\cos\alpha}$.

Вы выбрали не верный ход. Почитайте про космические скорости.

[rustot]

В силу очевидной симметрии в момент минимального сближения импульс метеорита перпендикулярен радиус-вектору от центра луны, а значит модуль его момента импульса $|\vec{L}| = |\vec{r}\times\vec{p}| = r p$. И в то же время по закону сохранения этот момент не отличается от начального $|\vec{L}| = (R+l) p_0$ и значит радиус минимального сближения $r = (R+l) \frac{p_0}{p}$

А из закона сохранения энергии можно добыть зависимость $p(r)$

[DimaM]

Кстати, параметры орбиты не слишком сложно выражаются через полную энергию и момент импульса. Оттуда, в частности, просто выводится расстояние в периселении, которое нужно сравнить с радиусом Луны.

[AscendedPrat]

Батороев, в каких учебниках эту тему более подробно разбирают? В ней как раз проблемы, я думаю

[Munin]

Ландау, Лифшиц. Механика.
§ 15. Кеплерова задача.
§ 18. Рассеяние частиц.

-- 02.08.2016 00:07:43 --

Медведев. Начала теоретической физики.
I.10. Движение в центральном поле.
I.11. Движение в кулоновом поле.

[Батороев]

AscendedPrat в сообщении #1141506 писал(а):

Батороев, в каких учебниках эту тему более подробно разбирают? В ней как раз проблемы, я думаю

Прежде всего, смущает в условии задачи слова "прицельное расстояние". Метеорит в замкнутой системе будет приближаться к Луне по гиперболе (в дальнейшем у метеорита три варианта: либо он пролетит мимо - по той же гиперболе, либо станет спутником - вращаясь по параболе, либо упадет на планету). Если в задаче требуется найти расстояние от Луны, в которое надо "целиться", то в виду бесконечной кривизны гиперболы (а следовательно, бесконечности касательных к ней), без задания расстояния от метеорита до Луны ответ вряд ли возможен.

Как мне видится, решение задачи (в случае, если она школьная) сводится к нахождению минимального расстояния от Луны, при котором $v_0$ будет меньше первой космической скорости для этого расстояния. Про первую космическую скорость Вы можете нагуглить в Инете.

[Батороев]

Спасибо добрым людям - поправили. Метеорит-спутник будет вращаться конечно же не по параболе, а по замкнутой кривой (скорее всего, по эллипсу).

[DimaM]

Батороев в сообщении #1141562 писал(а):

Прежде всего, смущает в условии задачи слова "прицельное расстояние". Метеорит в замкнутой системе будет приближаться к Луне по гиперболе (в дальнейшем у метеорита три варианта: либо он пролетит мимо - по той же гиперболе, либо станет спутником - вращаясь по параболе, либо упадет на планету). Если в задаче требуется найти расстояние от Луны, в которое надо "целиться", то в виду бесконечной кривизны гиперболы (а следовательно, бесконечности касательных к ней), без задания расстояния от метеорита до Луны ответ вряд ли возможен.

Смущать, скорее, должны слова про "бесконечную кривизну гиперболы" - что бы это могло означать на нормальном, гражданском языке?
Начальное расстояние до Луны, очевидно, считается бесконечным. Прицельное расстояние (чаще, по-моему, употребляется словосочетание прицельный параметр) - это вполне определенная вещь, расстояние от линии, вдоль которой направлен вектор начальной скорости, до центра Луны.
С ненулевой начальной скоростью на бесконечности можно лететь только по гиперболе (возможно, пересекающейся с поверхностью Луны). Парабола или эллипс не получатся.


Хотелось бы, конечно, уже увидеть уравнения, записанные зачинателем темы.

[rustot]

Батороев в сообщении #1141562 писал(а):

Метеорит в замкнутой системе будет приближаться к Луне по гиперболе (в дальнейшем у метеорита три варианта: либо он пролетит мимо - по той же гиперболе, либо станет спутником - вращаясь по параболе, либо упадет на планету).

Пересечься с поверхностью луны может хоть замкнутая хоть незамкнутая траектория. Будь луна поплотнее, поменьше радиусом при той же массе, и та же самая орбита уже не привела бы к "падению". Поэтому искать нужно вовсе не особые виды траекторий, а исходя из двух законов сохранения найти зависимость минимального расстояния от центра луны до метеорита от начальных условий и когда это расстояние становится больше радиуса луны

Батороев в сообщении #1141562 писал(а):

будет меньше первой космической скорости для этого расстояния

Врезаться в поверхность луны может и движущийся с околосветовой скоростью метеорит

[Батороев]

DimaM в сообщении #1141572 писал(а):

Смущать, скорее, должны слова про "бесконечную кривизну гиперболы" - что бы это могло означать на нормальном, гражданском языке?

Это означает, что не кривых участков на ней нет.

DimaM в сообщении #1141572 писал(а):

Прицельное расстояние (чаще, по-моему, употребляется словосочетание прицельный параметр) - это вполне определенная вещь, расстояние от линии, вдоль которой направлен вектор начальной скорости, до центра Луны.

Вам тоже следует почитать про космические скорости.

DimaM в сообщении #1141572 писал(а):

С ненулевой начальной скоростью на бесконечности можно лететь только по гиперболе

Озвучили мои слова своими.

DimaM всообщении #1141572 писал(а):

(возможно, пересекающейся с поверхностью Луны).

Не возможно, т.к. с заданная скорость соответствует второй космической скорости для поверхности Луны. Можете посчитать.

DimaM в сообщении #1141572 писал(а):

эллипс не получатся

Эллиптическими траекториями обладают большинство спутников. Есть исключения, например, орбита Меркурия.

rustot в сообщении #1141573 писал(а):

Врезаться в поверхность луны может и движущийся с околосветовой скоростью метеорит

Вопрос был "на поверхность", а не "в поверхность". Это две большие разницы.

[rustot]

Батороев в сообщении #1141577 писал(а):

Вопрос был "на поверхность", а не "в поверхность". Это две большие разницы.

Никакой разницы. Изначально имеющий вектор скорости, направленный в миллиметре от поверхности луны - врежется, а в двух миллиметрах - уже улетит по незамкнутой траектории, пролетев в миллиметре от поверхности. И там и там скорость сильно больше второй космической.

[DimaM]

Батороев в сообщении #1141577 писал(а):

Не возможно, т.к. с заданная скорость соответствует второй космической скорости для поверхности Луны. Можете посчитать.

Ну возьмите прицельное расстояние, равное радиусу Луны - какое расстояние получится в периселении?

Батороев в сообщении #1141577 писал(а):

Вопрос был "на поверхность", а не "в поверхность". Это две большие разницы.

Давайте вы не будете лезть в бутылку и изобретать собственные толкования вполне понятных слов "упасть на поверхность"?