Эквивалентные функции на бесконечности

[ewert]

Pixar в сообщении #1141190 писал(а):

У меня сомнения по этому поводу, так как в книжках, по которым я занимаюсь, понятие подобия употребляется только в отношении бесконечно малых функций.

Правильные сомнения (во всяком случае, на 50-70% правильные): если функции не бесконечно малые или бесконечно большие, то от подобного понятия просто нет никакой практической пользы.

Pixar в сообщении #1141190 писал(а):

То есть, если один из этих интегралов расходится, то и остальные расходятся. Если один из них сходится, то все они сходятся.

Это правда, а это:

Pixar в сообщении #1141190 писал(а):

$$\int\limits_2^{\infty} f(x) dx \sim \int\limits_2^{\infty} g(x) dx \sim \int\limits_2^{\infty} h(x) dx$$

-- ересь, т.к. определённые интегралы (неважно, собственные или несобственные) эквивалентными не бывают по самой природе своей.

[Pixar]

ewert в сообщении #1141197 писал(а):

Это правда

Отлично, тогда у меня появился ещё вопрос, немного более общий.
Допустим, что есть две функции $f(x) \ne g(x)$, у которых предел совпадает. То есть,

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = A$$

Верно ли, что их несобственные интегралы либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся?

PS: Я использовал знак подобия у интегралов, чтобы обозначить, что они одновременно сходятся/расходятся. Видимо так нельзя :)

[ewert]

Pixar в сообщении #1141203 писал(а):

Верно ли, что их несобственные интегралы либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся?

Верно на этот раз % на 30: если $A\neq0$, то все они расходятся безусловно, если же наоборот, то это ещё бабушка на2-е сказала.

Pixar в сообщении #1141203 писал(а):

Я использовал знак подобия у интегралов, чтобы обозначить, что они одновременно сходятся/расходятся. Видимо так нельзя :)

Так низзя, и хорошо б, если б Вы поняли, почему. Потому, во-первых, что называется это не подобием, а эквивалентностью. А в-главных, потому, что определённый интеграл -- это константа. Константы же не могут быть ни эквивалентными, ни даже подобными. Они могут быть или равными -- или нет.