квадратичные формы

[Мироника]

Вот такая задача
Найти линейное преобразование неизвестных, приводящее квадратичные формы, заданные своими матрицами, к каноническому виду. Выяснить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.

$$ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 3 \end{array} \right) $$

Я составила характеристическое уравнение $ \lambda ^3 -4 \lambda ^2 -10 \lambda +21=0$
Не могу найти корни

[Brukvalub]

А просто методом Лагранжа выделения полных квадратов попробовать не желаете?

[Бодигрим]

Плохо у него с хорошими корнями, по-моему.

[Мироника]

Что-то не могу в Лагранжа разобраться...
Перехожу от матрицы к виду $x_1^2+2*2x_1x_2+2*2 x_2 x_1 +3*2x_2 x_3 +3*2x_3 x_1 +3x_3^2$
А дальше что?

[Brukvalub]

Последовательно выделяйте полные квадраты по первой переменной, затем по второй и т.д. А книжки читать не пробовали? В некоторых этот метод залихватски описан!

[RIP]

Мироника писал(а):

Перехожу от матрицы к виду $x_1^2+2*2x_1x_2+2*2 x_2 x_1 +3*2x_2 x_3 +3*2x_3 x_1 +3x_3^2$

Неправильно переходите.

[Мироника]

Исправляю
$x_1^2+2*2x_1x_2+2*2 x_2 x_1 +3*2x_2 x_3 +3*2x_3 x_2 +3x_3^2$
Так?

[RIP]

Мироника писал(а):

Исправляю
$x_1^2+2*2x_1x_2+2*2 x_2 x_1 +3*2x_2 x_3 +3*2x_3 x_2 +3x_3^2$
Так?

Опечатку Вы исправили, а ошибка осталась. Вы зачем коэффициенты на 2 умножаете?

[Мироника]

Поняла
$x_1^2+2x_1x_2+2 x_2 x_1 +3x_2 x_3 +3x_3 x_2 +3x_3^2=x_1^2+2*2x_1x_2 +3*2x_2 x_3 +3x_3^2=(x_1+2x_2)^2-4 x_2^2+6 x_2 x_3+3 x_3^2=(x_1+2x_2)^2-(4x_2^2-2*2x_2* \frac {3} {2} *x_3 +\frac {9} {4} x_3^2)+ \frac {9} {4} x_3^2 +3 x_3^2= (x_1+2x_2)^2-(2x_2-\frac {3} {2} x_3)^2+\frac {21} {4} x_3^2$

Добавлено спустя 11 минут 18 секунд:

Brukvalub писал(а):

В некоторых этот метод залихватски описан!

Посоветуйте какую

Добавлено спустя 8 минут 21 секунду:

или может так надо
$x_1^2+2*2x_1x_2 +3*2x_2 x_3 +3x_3^2=(x_1+2x_2+x_3)^2-(2x_2-\frac {1} {3} x_3)^2+\frac {9} {4} x_3^2-2x_1x_3$

[BVR]

Теперь замена сделайте и получите формулы искомого преобразования

[Мироника]

всё. нашла подходящую литературу. думаю, дальше разберусь.
спасибо огромное за помощь
у меня сегодня много задачек. поможете?

[BVR]

Нет. Как в первый раз правильно

[Мироника]

Получился вот такой вид
$L=y_1^2-4y_2^2+5,25y_3^2$
Линейное преобразование
$y_1=x_1+2x_2$, $y_2=x_2-0,75x_3$, $y_3=x_3$

Добавлено спустя 3 минуты 3 секунды:

и я понимаю, что знакоопределенной она не будет?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

я понимаю, что знакоопределенной она не будет?

Не будет, у знакоопределенной формы ранг и сигнатура равны размерности пространства.