Задача про трансформатор

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите осилить задачу.
Обмотки трансформатора содержат $ N_1 = 1000 $ витков и $N_2 = 2000 $ витков и намотаны на сердечник с большой магнитной проницаемостью. Обмотки соединили параллельно и подключили последовательно с резистором $R = 1000 $ Ом к сети переменного напряжения $\sim 220 B$. Найти силу тока в каждой обмотке трансформатора.
Для определенности будем считать, что обмотки включены согласно. Я не понимаю, надо ли здесь учитывать активное сопротивление катушек трансформатора, если в условии они не даны? Если не надо, тогда получим два идеальных источника ЭДС (самоиндукции), включенные параллельно, напряжение на них одинаково и чему равно - не понятно? и ток должен быть бесконечно большим через катушки? Или я чего-то не понимаю?

[Kephe]

Stensen в сообщении #1140305 писал(а):

Я не понимаю, надо ли здесь учитывать активное сопротивление катушек трансформатора, если в условии они не даны?

Считать, что активное сопротивление обмоток равно нулю. Это не делает задачу нерешаемой; напротив, упрощает её.

Stensen в сообщении #1140305 писал(а):

Если не надо, тогда получим два идеальных источника ЭДС (самоиндукции), включенные параллельно, напряжение на них одинаково и чему равно - не понятно?

Вот как раз тут стоит подумать - какие есть варианты относительно значения напряжения на обмотках. Вы правильно заметили, что оно должно быть одинаковым.

[specialist]

Все таки задачка простая, откройте Бессонова, или Торбенкова, или Шимони, или Неймана или на крайняк Тамма, или еще два миллиарда учебников по ТОЭ с задачками и с решениями, и разберите такое количество задач с решениями чтоб решить $n+1$. Составьте систему уравнений по законам Кирхгофа и поймете как решать.

[levtsn]

Так как данных по катушкам явно не достаточно, значит они не влияют, на них нет падения напряжения. Но почему я не пойму.

[AnatolyBa]

Если вы ни о чем не умалчиваете (в смысле подробностей условия), то, видимо, надо предполагать совсем совсем идеальный трансформатор. И его поведение будет зависеть от того как именно соединены обмотки (встречно или согласно). При одном подключении эквивалентная индуктивность будет условно бесконечной, при другом условно нулевой.

[Kephe]

Автора темы так совсем запутать можно.

В условии "сердечник с большой магнитной проницаемостью", что намекает на коэффициент связи, близкий к 1. Думаю, этого достаточно для решения; нет необходимости полагать индуктивность обмоток бесконечной, как у совсем-совсем идеального трансформатора. Близкий к 1 коэфф. связи даёт право считать, что амплитуды напряжения на обмотках соотносятся с числом витков как

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}$$

Из $N_1 \neq N_2$ следует $U_1 \neq U_2$, если напряжения отличны от нуля. Но параллельное включение накладывает условие $u_1(t) = \pm u_2(t)$. Так что при любом параллельном включении и $N_1 \neq N_2$ неизбежно $U_1 = U_2 = 0$. Следовательно, суммарный магнитный поток в сердечнике тоже нулевой.

Дальше можно считать токи (будут зависеть от способа включения обмоток).

[AnatolyBa]

Kephe в сообщении #1140368 писал(а):

Автора темы так совсем запутать можно.

Можно запутать, но это потому что условие не совсем понятно. Согласитесь, что и вы рассматриваете некий совсем-совсем идеальный случай. При одном из способов включения обмоток вы обязаны допустить нулевое напряжение, но противоположно направленные токи. А это как-то странно. Хотя, возможно, автор задачи именно это и имел в виду

[Stensen]

AnatolyBa в сообщении #1140360 писал(а):

Если вы ни о чем не умалчиваете (в смысле подробностей условия), то, видимо, надо предполагать совсем совсем идеальный трансформатор. И его поведение будет зависеть от того как именно соединены обмотки (встречно или согласно). При одном подключении эквивалентная индуктивность будет условно бесконечной, при другом условно нулевой.

Про условие не умалчиваю, в задачнике (Турчин Н.В. "Физика. 3800 задач для школьников и поступающих") условие именно такое. Даны два численных ответа, я полагаю, что они для двух способов соединения обмоток: встречно и согласно. Пока в раздумьях.
Спасибо за ответы.

[specialist]

как бы обмотки трансформатора в данном случае не включали, напряжения на них будет тоже самое как на источнике питания плюс падение на сопротивлении.
как сие решается:
1) запишите систему уравнений по законам Кирхгофа, все нелинейности магнитных цепей выбрасывайте
у вас получится два уравнения, из потокосцеплений вынесите общую индуктивность и количество витков в обоих уравнениях.
2) перейдите от системы дифференциальных уравнений к комплексной системе уравнений, и вы получите два линейных уравнения с двумя неизвестными токами
3) решите приведите систему к уравнениям от одного тока, IR=U
4)в место R у вас будет комплексное сопротивление, выделите в нем действительную и мнимые части
5)действительная часть вам даст соотношение между амплитудой напряжения и амплитудой тока, найдите амплитуду тока
6) найдите второй ток из правых частей системы уравнений, так как они равны, получится простое соотношение между амплитудами.

[Kephe]

Stensen в сообщении #1140387 писал(а):

Даны два численных ответа, я полагаю, что они для двух способов соединения обмоток: встречно и согласно

Хорошо, что есть ответы. Тогда можно проверить мою гипотезу, благо посчитать тут ничего не стоит: 440 мА и -220 мА (синфазно); 147 мА и 73 мА (в противофазе).

[AnatolyBa]

Kephe
Да вы правы. А я поторопился

[Stensen]

Спасибо за ответы, правильно ли я все понял? Из условий:

1. $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{2} $\Rightarrow L_2 = 4 $\cdot $L_1 $, (т.к. $ L $\sim$ N^2 $). Обозначим: $L_1=L $ \,$ $\Rightarrow L_2 = 4L $, а из:

Kephe в сообщении #1140368 писал(а):

В условии "сердечник с большой магнитной проницаемостью", что намекает на коэффициент связи, близкий к 1.

2. следует, что $ k=\sqrt{\frac{\Psi_{12} \Psi_{21}}{\Psi_{11} \Psi_{22}}} = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}} = 1$ $\Rightarrow M = \sqrt{L_1 L_2} = 2L$. Далее (1-й способ) по Кирхгофу с комплексными амплитудами:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{E}= I_3 R + j \omega L_1 I_1 \pm j \omega M I_2 \\ \mathcal{E}= I_3 R + j \omega L_2 I_2 \pm j \omega M I_1 \\ I_3 = I_1 + I_2 \\ \end{array} \right.$ , подставив $L,M$, получу:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{E}= I_1 Z_{11} + I_2 Z_M \\ \mathcal{E}= I_1 Z_M + I_2 Z_{22} \\ \end{array} \right.$, где:

$Z_{11} = R + j \omega L , \, Z_{22} = R + j \omega 4L $,
$ Z_M = R + j \omega 2L$ - для согласного
$ Z_M = R - j \omega 2L$ - для встречного. Далее все решается:

$I_3 = \frac{\mathcal{E}}{R} $

$I_1 = \frac{2 \mathcal{E}}{R} , \, I_2 = - \frac{\mathcal{E}}{R}$ - для согласного,

$I_1 = \frac{2 \mathcal{E}}{3R} , \, I_2 = \frac{\mathcal{E}}{3R}$ - для встречного.

Kephe в сообщении #1140429 писал(а):

Хорошо, что есть ответы. Тогда можно проверить мою гипотезу, благо посчитать тут ничего не стоит: 440 мА и -220 мА (синфазно); 147 мА и 73 мА (в противофазе).

Да, в задачнике так. Но хочу решить по школьному (2-й способ):

Kephe в сообщении #1140368 писал(а):

Параллельное включение накладывает условие $u_1(t) = \pm u_2(t)$. Так что при любом параллельном включении и $N_1 \neq N_2$ неизбежно $U_1 = U_2 = 0$. Следовательно, суммарный магнитный поток в сердечнике тоже нулевой.

Т.к. $ U_L = 0 $, то: $U_R = \mathcal{E}, \, I_3 = \frac{\mathcal{E}}{R} = I_1 + I_2 $, тогда:

Для согласного:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \Psi_1 = L_1 I_1 + M I_2 \\ \Psi_2 = L_2 I_2 + M I_1 \\ \Psi_1 = \Psi_2 \\ I_1 + I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R} \\ \end{array} \right.$

Для встречного:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \Psi_1 = L_1 I_1 - M I_2 \\ \Psi_2 = L_2 I_2 - M I_1 \\ \Psi_2 = - \Psi_1 \\ I_1 + I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R} \\ \end{array} \right.$ ,

где: $ \Psi_1, \,\Psi_2 $ - потокосцепление в 1-й и 2-й обмотках. При встречном включении потоки направлены навстречу: $ \Psi_2 = - \Psi_1$. Все ли законно? проверьте пожалуйста.

[specialist]

не уверен что в школьных курсах есть понятия взаимоиндукции, ну да ладно, чтоб было законно надо расставить точки над комплексными величинами.

[Kephe]

Stensen
Что-то у Вас сложновато получилось. После того, как пришли к выводу, что суммарный магнитный поток в сердечнике нулевой, можно сразу записать систему уравнений

$$ \begin{cases} N_1 i_1 \pm N_2 i_2 = 0 \\ i_1 + i_2 = u/R \end{cases} $$

(уравнения записаны для мгновенных значений)

Первое уравнение - условие равенства нулю суммарного магнитного потока. Создаваемый каждой катушкой магнитный поток пропорционален числу витков; коэффициент пропорциональности одинаков у обеих обмоток, поэтому сокращается. Второе уравнение - из условия равенства нулю суммы токов в узле.

[Stensen]

Kephe в сообщении #1141432 писал(а):

Stensen
Что-то у Вас сложновато получилось. После того, как пришли к выводу, что суммарный магнитный поток в сердечнике нулевой, можно сразу записать систему уравнений

$$ \begin{cases} N_1 i_1 \pm N_2 i_2 = 0 \\ i_1 + i_2 = u/R \end{cases} $$

Первое уравнение - условие равенства нулю суммарного магнитного потока. Создаваемый каждой катушкой магнитный поток пропорционален числу витков; коэффициент пропорциональности одинаков у обеих обмоток, поэтому сокращается. Второе уравнение - из условия равенства нулю суммы токов в узле.

Kephe
Мне все таки кажется, что первое уравнение без явной записи магнитных связей выглядит не обоснованным и вряд ли будет понятно школьникам. Вы написали это уравнение, заранее зная результат, а сможет ли школьник? Или я не прав?