Модифицированная система счисления

[NL0]

Спасибо! А может $263+241=604$?

Я понял, что сначала складываем цифры последнего разряда, если там получается $8$ или больше, то делаем перенос $2$ в следующий разряд, вычитая восемь, ну и так дальше.

Если мы умножаем последнюю цифру $d$ на $16$, то много что перейдет в следующие разряды.

Попробую умножить $27_{4M}\cdot 16_{10}=(27+27+...+27)_{4M}$

Далее не буду писать индекс $4M$.

$27_{4M}+27_{4M}=66_{4M}$

$66_{4M}+66_{4M}=264_{4M}$

$27_{4M}\cdot 4=264_{4M}$

Я так понял, что мы умножаем $4$ на $7$, получаем $28$, значит мы должны вычесть наибольшее положительное число, кратное восьми, это 24. Получаем $4$. В следующий разряд переходит тройка, умноженная на 2. 2 умножаем на 4. Получаем 8, но в запасе еще было 6, потому мы должны записать 6, в следующий разряд переходит 2. Получаем 264.

Аналогично можно умножить еще раз на 4, получим алгоритм умножения на 16.

Но может как-то можно перевести число 16 в систему $4M$ и там умножать? $16_{4M}=100$

Но как, не понятно...

-- 27.07.2016, 02:13 --

Кажется понял. Умножение на 16 дает сдвиг на два разряд, что эквивалентно тому, что мы умножим на сто, то есть допишем два нуля к числу.

Например $44_{4M}\cdot 16=4400$.

Правильно ли?

[svv]

NL0 в сообщении #1140344 писал(а):

Я понял, что сначала складываем цифры последнего разряда, если там получается $8$ или больше, то делаем перенос $2$ в следующий разряд, вычитая восемь, ну и так дальше.

Верно. Вот и всё правило.
Оно автоматически обеспечивает чётность последующих разрядов.
Ну, и двойка вместо нуля во втором разряде при сложении $263_{4M}+241_{4M}$ Вам тоже теперь должна быть понятна: $6+4-8=2$.

Теперь с умножением на $16$. Понятно, что $x\cdot 16=x\cdot 4\cdot 4$.

Допустим, мы правильно выполнили первое умножение на $4$. Тогда все цифры результата будут чётными. Значит, второе умножение на $4$ — это просто дописывание нолика. Некорректной ситуации, когда какая-то из непоследних цифр нечётная, не будет.

Как выполнить первое умножение на $4$? Представим $x$ как $y+d$, где $d$ — последняя цифра, а $y$ кратно четырём (на самом деле даже восьми), и потому оканчивается нулём. Например, если $x=265_{4M}$, то $y=260_{4M},\;d=5_{4M}$.
Так как $(y+d)\cdot 4=y\cdot 4+d\cdot 4$, можно отдельно умножить на $4$ сначала $y$, затем $d$, и сложить. Найдите правила, по которым надо выполнять эти три действия в $4M$.
Кажется, что для $y\cdot 4$ и $d\cdot 4$ правила сходные, на самом деле совсем нет. В $y\cdot 4$ Вы умножаете многоразрядное число, у которого все цифры чётные. Это очень просто. А $d\cdot 4$ — умножение одноразрядного числа любой чётности. Здесь может быть перенос. Это чуть сложнее. Зато сложение опять простое.